12-ma’ruza. So‘nuvchi tebranishlar, ularning Lagranj funksiyalari va harakat tenglamalari, dissipativ funksiya tushunchasi. Molekulaning tebranishlari

Adiabatik invariantlar. Parametrik rezonans. Tez tebranib o‘zgaruvchi maydondagi harakat

Bir o‘lchamli finit harakatlanuvchi sistemani ko‘raylik. Sistemaning xossalari yoki tashqi maydon bilan xarakterlanuvchi harakatni parametr tavsiflasin. Qandaydir tashqi sabablar ta’sirida vaqt bo‘yicha sekin o‘zgarsin (ba’zida bunga adiabatik holat deyiladi). Sistema harakati davomida davr vaqtida oz o‘zgaradi.

(1)
Bunday sistema yopiq hisoblanmaydi va uning energiyasi saqlanmaydi. Energiyaning o‘zgarish tezligi parametrning o‘zgarish tezligiga proporsional bo‘ladi. SHunday kombinatsiya (kattalik) bo‘lishi kerakki sistema harakatida bu kattalik o‘zgarmasligi kerak va unga adiabatik invariantlik deyiladi.
Unda funksiyasi ham parametrga bog‘liq bo‘lsin. Energiyaning vaqt bo‘yicha to‘liq differensialigiga ko‘ra
chunki
Bu tenglamani davr bo‘yicha o‘rtachalash mumkin, chunki davrda juda oz o‘zgaradi

O‘rtachalashda faqat va kattaliklar bo‘yicha inobatga olinadi. O‘rtachalashni oshkora ko‘rinishda yozamiz.


(2)
Gamilton tenglamasiga ko‘ra quyidagi munosabatlar ma’lum.

Bu tenglik yordamida integralni koordinata bo‘yicha yozish mumkin. Davrni ham quyidagicha yozish mumkin.

-yopiq integral davr mobaynida koordinataning to‘liq o‘zgarishi (“oldinga” va “ortga”) bo‘yicha integralni ifodalaydi.
Endi (2) integralni yozish mumkin
(3)
Ta’kidlanganidek doimiy qiymatida traektoriya davomida Gamilton funksiyasi doimiy qiymatini saqlaydi, ammo impuls bo‘yicha o‘zgaradi. tenglikni bo‘yicha differensiallasak va parametr va ga oshkora bog‘liq emasligi uchun quyidagilarni yozish mumkin.

yoki
Bu munosabatni (3) integralga qo‘yamiz va maxrajdagi integraldagi funksiyani ko‘rinishda beramiz.
(4)
yoki
Bu tenglikni quyidagi ko‘rinishda belgilashlar yordamida beriladi.
(5)