11-amaliy mashg`ulot. Teskari operatorlarning teskarilanuvchiligi. Teskari operatorlar

3.Teskari operatorlar haqidagi teoremalar.
Biz bu ma’ruzada operator teskarilanuvchan bo‘lishligining zaruriy va yetarli shartini keltiramiz. Shuningdek teskari operator mavjud va chegaralangan bo‘lishining yetarli, zarur va yetarli shartlarini keltiramiz.
3-teorema. chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. teskarilanuvchan bo‘lsin. U holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. chiziqli bo‘lgani uchun bu yechim bo‘ladi.
Yetarliligi. tenglama faqat nol yechimga ega bo‘lsin, u holda ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. Teskarisini faraz qilaylik, biror uchun yechim ikkita bo‘lsin. U holda bo‘ladi. Shartga ko‘ra . Bundan .
4-teorema. chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. da chegaralangan operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy lar uchun
(7)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya’ni
.
U holda
.
Demak, (7) shart o‘rinli.
Yetarliligi. (7) shartdan operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lmasin. U holda shunday elementlar mavjudki,
.
Bundan ekanligi kelib chiqadi. (1) tengsizlikka ko‘ra,
.
Bu yerdan qarama-qarshilikka kelamiz. Demak, - o‘zaro bir qiymatli akslantirish ekan. Shuning uchun, teskari operator mavjud. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. (7) tengsizlikka ko‘ra,
.
Ixtiyoriy uchun
.
Bu yerdan operatorning chegaralangan ekanligi hamda

tengsizlik kelib chiqadi.
Endi 3-teorema shartlarining bajarilishiga doir misollar qaraymiz.
Misollar. 3. fazoda ga ko‘paytirish operatorini , ya’ni

operatorni qaraymiz. Bu operator 3-teorema shartlarini qanoatlantiradimi? teskarilanuvchan operator bo‘ladimi?
Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi tenglamani, ya’ni tenglamani qaraymiz. Bu tenglama fazoda faqat yechimga ega. operator 1-teorema shartlarini qanoatlantiradi. Demak, - teskarilanuvchan operator, ya’ni ga teskari operator mavjud.