11-amaliy mashg`ulot. Teskari operatorlarning teskarilanuvchiligi. Teskari operatorlar

Teskari operatorni topishga doir misollar
Agar uchun tenglama yagona yechimga ega bo`lsa, u holda teskarilanuvchi operator deyiladi.

1. 
   , operatorga teskari operator mavjudmi? Agar u mavjud bo`lsa, uni toping.
   

Yechish: Berilgan operatorga teskari operator mavjud bo`lishi uchun, ixtiyoriy da tenglama yagona yechimga ega bo`lishi kerak. Endi tenglikdan ni topamiz:

Bundan

ya`ni
.
Shunday qilib, A operatorga teskari operator mavjud va u quyidagicha

ko`rinishga ega.

2. 
   1 - misolda qaralgan operator teskari operatorlar haqida Banax teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?
   

Yechish: va lar Banax fazolari bo‘lganligi uchun akslantirishning biyeksiya ekanligini ko‘rsatish yetarli. fazodan ixtiyoriy ikkita turli va elementlarni olamiz va ekanligini ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik bo‘lsin. So‘nggi tenglikdan ekanligiga kelamiz. Bu qarama-qarshilik akslantirishning inyektiv ekanligini ko‘rsatadi.3-misolda ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega ekanligi ko‘rsatilgan edi. Bu esa akslantirishning surektiv ekanligini ko‘rsatadi. Demak, biyektiv akslantirish ekan.

3. 
   operator teskarilanuvchimi? Teskari operatorini toping.
   

Yechish: operatorga teskari operator mavjud bo`lishi uchun tenglama yagona yechimga ega bo`lishi kerak.

Endi quyidagicha belgilash kiritamiz:

Bundan kelib chiqadi.
da ega bo`lamiz. Endi buni belgilashimizga olib borib qo`yamiz.


Topilgan ning qiymatini olib borib qo`ysak quyidagiga ega bo`lamiz:

.
Demak, operator teskari operatori mavjud va

ko`rinishga ega.

4. 
   operator teskarilanuvchimi? Teskari operatorini toping.
   

Yechish: operatorga teskari operator mavjud bo`lishi uchun tenglama yagona yechimga ega bo`lishi kerak.

Endi quyidagicha belgilash kiritamiz:

Bundan kelib chiqadi.
da ega bo`lamiz. Endi buni belgilashimizga olib borib qo`yamiz.



Topilgan ning qiymatini olib borib qo`ysak quyidagiga ega bo`lamiz:
.
Demak, operatorning teskari operatori mavjud va

ko`rinishga ega.

5. 
   operator teskarilanuvchimi? Teskari operatorini toping.
   

Yechish: operatorga teskari operator mavjud bo`lishi uchun tenglama yagona yechimga ega bo`lishi kerak.

Endi quyidagicha belgilash kiritamiz:

Bundan kelib chiqadi.
da ega bo`lamiz. Endi buni belgilashimizga olib borib qo`yamiz.



Topilgan ning qiymatini olib borib qo`ysak quyidagiga ega bo`lamiz:

Demak, operatorning teskari operatori mavjud va

ko`rinishga ega.

6. 
   Quyidagi operatorni teskarilanuvchilikka tekshiring. Agar mavjud bo`lsa uni toping?
   

,
Yechish: shartni tekshiramiz.

Demak, . Demak, teskarilanuvchi ekan.

7. 
   Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko`rsating.
   

Yechish: Ma`lumki, chiziqli operator teskarilanuvchan bo`lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo`lishi zarur vayetarli. Berilgan operator uchun funksiyani olsak, bo`lgani uchun

Demak, tenglama nolmas, yechimga ega, teskari operator haqidagi teoremaga ko`ra, operator teskarilanuvchan emas.

8. 
   fazoda ga ko`paytirish operatori, ya`ni
   

operator teskari operatorlar haqidagi teorema shartlarini qanoatlantiradimi? teskarilanuvchan operator bo`ladimi?
Yechish: operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi tenglamani, ya`ni tenglamani qaraymiz. Bu tenglama fazoda faqat yechimga ega. operator teskari operatorlar haqidagi teoremani qanoatlantiradi. Demak, - teskarilanuvchan operator, ya`ni ga teskari operator mavjud.

9. 
   Quyidagi operatorning teskarilanuvchanligini ko`rsatib, unga teskari operatorni toping:
   

Yechish: Bu operator uchun tenglama
(1)
Chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat. Bundan ga ega bo`lamiz. (1) sistemaning yechimi yagona bo`ladi, ya`ni tenglama faqat yechimga ega. Demak, teskarilanuvchan operator. Endi uchun tenglama yoki
(2)
tenglamalar sistemasini yechamiz. (2) sistemadan quyidagi sistemaga o`tamiz:

bu yerda lar o`rinlarini almashtirsak, Bundan operator quyidagi formula bilan aniqlanishi kelib chiqadi: