100 лет со дня рождения

Дополнение
Для простоты мы будем рассматривать множества, лежащие в 
евклидовых пространствах различных измерений, а также функ-
ции, принимающие действительные значения и определённые в 
этих же пространствах.
1. 
B
- ф у н к ц и я м и называются функции, которые можно по-
лучить, отправляясь от непрерывных функций путем последова-
тельного конечного или счётного применения операции взятия 
предела всюду сходящейся последовательности.
2. 
B
- м н о ж е с т в а м и называются множества, которые можно 
получить, исходя из открытых множеств, путём последовательного 
конечного или счётного применения операций взятия счётного 
объединения или счётного пересечения.
3. Подмножество 
U
совершенного множества 
P
называется 
м н о ж е с т в о м п е р в о й к а т е г о р и и н а
P
, если оно является 
объединением конечного или счётного числа множества, нигде не 
плотных на 
P
.
Дополнение до 
P
к множеству первой категории на 
P
называ-
ется м н о ж е с т в о м в т о р о й к а т е г о р и и н а
P
.
4. М н о ж е с т в о
U
о б л а д а е т с в о й с т в о м Б э р а на совер-
шенном множестве 
P
, если у всякого совершенного подмножества 
P
′
множества 
P
найдется совершенная порция 
π
, такая, что 
U
π
–
либо первой, либо второй категории на 
π
.
5. Все 
B
-множества измеримы и обладают свойством Бэра.
6. 
A
- м н о ж е с т в а, лежащие в пространстве 
n
-измерений, суть 
проекции на это пространство 
B
-множеств, лежащих в объемлю-
щем его пространстве 
n
+ 1-измерений.

---

132
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
7. Теорема Суслина. Два взаимно дополнительных 
A
-множест-
ва суть 
B
-множества.
8. Пусть 
K
–
некоторый класс множеств и 
M
–
его максималь-
ный подкласс, инвариантный относительно перехода к дополнени-
ям. Говорят, что в классе 
K
имеет место 1 - я т е о р е м а о т д е л и -
м о с т и, если для всяких двух непересекающихся множеств 
E
1
и 
E
2
класса 
K
существуют два непересекающихся множества 
H
1
и 
H
2
класса 
M
, такие, что
H
E
H
E
1
1
2
2
⊃
⊃
и .
9. Т е о р е м а Л у з и н а. Для класса 
A
-множеств справедлива 
1-я теорема отделимости.
10. Опираясь на эту теорему, Н.Н. Лузин доказал, что проек-
ция униформного 
B
-множества есть 
B
-множество.
11. 
A
-множества измеримы и обладают свойством Бэра.
12. Пусть 
E
–
множество, лежащее в плоскости 
XOY
. Говорят, 
что его подмножество 
U
у н и ф о р м и з и р у е т множество 
E
отно-
сительно оси 
Y
, если на всякой параллели к оси 
Y
, пересекающей 
множество 
E
, множество 
U
имеет одну и только одну точку.
13. Пусть соотношение
 F 
(
x
, 
y
) = 0 
(1)
определяет