100 лет со дня рождения

y
как неявную функцию от 
x
(ясно, что некоторым 
x
может отвечать много разных значений 
y
). Говорят, что функция 
y
= 
f
(
x
) у н и ф о р м и з и р у е т неявную функцию (1), если
1) функция 
y
= 
f 
(
x
) определена для тех и только тех значений 
x
, для которых уравнение 
F 
(
x
, 
y
) = 0 имеет решение;
2) 
F
(
x
, 
f 
(
x
)) = 0.
14. 
A
-множество можно определить также посредством о п е -
р а ц и и р е ш е т а над 
B
-множеством.
15. О п е р а ц и я р е ш е т а над системой множеств {
U
r
}, зану-
мерованных рациональными числами, определяется так.
Пусть 
θ
(
x
) 
–
множество всех тех значений 
r
, для которых
x U
r
∈
. 
Возможны два случая: либо 
θ
(
x
) вполне упорядочено в порядке 
возрастания чисел 
r
и 
β
(
x
) есть порядковый тип этого множества, 
либо 
θ
(
x
) не вполне упорядочено в указанном смысле, тогда пола-
гаем 
β
(
x
) = 
Ω
. Операция решета определяет индекс 
β
(
x
) и множест-
во точек 
E
= 
r 
{
U
r
}, где 
β
(
x
) = 
Ω
.
Если все множества 
U
r
суть 
B
-множества, то 
r 
{
U
r
} есть 
A
-мно-
жество. Каково бы ни было трансфинитное число 2-го класса 
β
0
, 
множество точек, где 
β
(
x
) < 
β
0
, есть в этом случае 
B
-множество.

---

133
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
16. П р и н ц и п о г р а н и ч е н н о с т и и н д е к с а. Пусть 
β
(
x
) 
–
индекс, определённый решетом из 
B
-множеств и 
E
–
соответству-
ющее ему 
A
-множество, а 
E
′
есть 
A
-множество, не пересекающееся 
с множеством 
E.
Тогда на множестве 
E
′
индекс 
β
(
x
) ограничен не-
которым трансфинитным числом 2-го класса.
17. 
A
-операция над системой множеств {
U
n
1
, …, 
n
k
}, занумеро-
ванных всевозможными кортежами натуральных чисел 
n
1
, 
n
2
, …, 
n
k
, 
определяется так:
A U
U
n
n
n
n
k
n n
n
k
k
k
1
1
1
2
, ,
, ,
, , ,
,
,
…
…
…
…
{
}
=
∩
∪
где для всякой последовательности натуральных чисел 
n
1
, 
n
2
, …, 
n
k
,
 
… берётся пересечение всех множеств, занумерованных сегмен-
тами этой последовательности, а затем составляется объединение 
этих пересечений для всех последовательностей натуральных чи-
сел.
Известно, что всякую 
A
-операцию можно привести к виду ре-
шета и тем самым построить отвечающий ей трансфинитный ин-
декс. Для трансфинитных индексов 
A
-операций справедливы все 
те же утверждения, что и для трансфинитных индексов решёт.
18. Дополнения к 
A
-множествам называются 
CA
-м н о ж е с т -
в а м и.
19. П р о е к т и в н ы е м н о ж е с т в а
–
это наименьший класс 
множеств, содержащий все 
B
-множества и инвариантный относи-
тельно операций проектирования счётного объединения и взятия 
дополнения.
20. М н о ж е с т в а к л а с с а
A
2
суть проекции 
CA
-множеств. 
М н о ж е с т в а к л а с с а
CA
2
суть дополнения к множествам класса 
A
2
. М н о ж е с т в а к л а с с а
B
2
суть те, которые являются одновре-
менно 
A
2
- и 
CA
2
-множествами.
21. Пусть в пространстве 
n
+ 1-измерения дано 
CA
-множество 
H
и 
E
есть его проекция на подпространство 
n
-измерений. Тогда 
E
является 
A
2
-множеством. Пусть индекс 
β
(
x
) (
x
–
есть точка 
n
+ 1-
мерного пространства) принимает значения, меньшие 
Ω
в точках 
множества 
H
, и определён решетом, составленным из 
n
+ 1-мер-
ных 
B
-множеств. Определим новый индекс 
γ
(
y
), где 
y
–
точка 
n
-
мерного пространства, так: если
y
E
∈
, то 
γ
(
y
) = min 
β
(
x
), где 
y
есть 
проекция точки 
x
, и если
y
CE
∈
, то 
γ
(
y
) = 
Ω
.
Это и есть индекс, определённый П.С. Новиковым для проек-
тивных множеств 2-го класса.
22. 
C
-множествами называют такие множества, которые полу-
чаются из открытых множеств путём конечно- или счётнократного 
применения 
A
-операций и взятия дополнения.

---

134
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ