100 лет со дня рождения

CA
-множеств [14]. В дальнейшем на основе этого принципа 
сравнения индексов было показано, что для высших классов 
C
-множеств не имеют места ни аналог теоремы Суслина, ни ана-
лог теоремы об ограниченности индексов. Это непосредственно 
сле дует из работы Куратовского, в которой он показал, что из прин-

---

125
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
ципа сравнения индексов вытекает, что все 
C
-множества лежат в 
классе 
B
2
проективных множеств
1
[25].
Этот результат П.С. Новикова навёл автора настоящей статьи 
на мысль о том, что для 
R
-операций тоже должен иметь место ана-
логичный принцип сравнения индексов. В дальнейшем это яви-
лось инструментом для изучения 
R
-множеств [7, 10].
К проблематике, непосредственно связанной с принципом 
сравнения индексов, относится также работа П.С. Новикова по 
тео рии кратной отделимости. Им было показано, что в вышеопи-
санном классе множеств 
K
из справедливости 1-й теоремы отдели-
мости (всякие два непересекающиеся множества класса 
K
отдели-
мы множествами класса 
M
) следует справедливость 1-й теоремы о 
конечнократной отделимости, а именно: пусть 
E
1
, 
E
2
, …, 
E
n
–
мно-
жества класса 
K
, такие, что 
E
i
i
= ∅
∩
;
тогда существуют множества 
H
1
, 
H
2
, …, 
H
n
класса 
M
, такие, что 
H
E
i
i
⊃
для всякого 
i
и 
H
i
i
= ∅
∩
.
Для случая 
A
-множеств П.С. Новиков показал, что аналогич-
ные теоремы отделимости справедливы и для случая счетных пере-
сечений. Опираясь на эту теорему, он доказал, что если плоское 
B
-множество таково, что каждый перпендикуляр к оси абсцисс пе-
ресекает его по компактному или пустому множеству, то проекция 
этого 
B
-множества на ось абсцисс есть 
B
-множество [11, 13, 18]. 
Окончательный результат в этом направлении получил ученик 
П.С. Новикова В.Я. Арсенин, который доказал, что результат оста-
ётся в силе, если заменить компактные множества множествами 
типа абсолютное 
F
σ
[1]. В дальнейшем Пётр Сергеевич передал эту 
тематику А.А. Ляпунову. Целая серия различных теорем о кратной 
отделимости была получена Лузиным, Серпинским, Ружевичем, 
Козловой, Ляпуновым и другими. Они оказались удобным аппара-
том для установления многих результатов дескриптивной теории 
множеств. В некотором смысле завершающий результат в этом на-
правлении был получен Ляпуновым, который показал, что если 
для некоторого класса множеств имеются трансфинитные индек-
сы, подчинённые принципу сравнения, и если этот класс множеств 
инвариантен относительно некоторых 
δ
s
-операций, то в этом клас-
се имеют место как 1-я, так и 2-я теоремы о кратной отделимости 
для соответствующей 
δ
s
-операции [6].
1
Впервые последний результат был получен Л.В. Канторовичем и 
Е.М. Ливенсоном другими средствами [23].

---

126
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
П.С. Новикова всегда интересовал вопрос о роли эффектив-
ных конструкций в теории множеств и выяснение различных воз-
можностей и подходов к выяснению природы эффективных теоре-
тико-множественных конструкций. При этом он не ограничивался 
общими соображениями, а старался получать в каждом направле-
нии, которое казалось ему перспективным, конкретные математи-
ческие результаты. Таких попыток П.С. Новиков сделал много, но, 
к сожалению, далеко не всё, что он в этой области получал, считал 
нужным публиковать. Отметим некоторые работы П.С. Новикова, 
выполненные в этом духе. Один из вопросов состоял в том, чтобы 
выяснить, в какой степени те или другие подмножества контину-
ума, «бедные» точками по своим внутренним свойствам, родствен-
ны всему континууму. В частности, если бы всякое несчётное под-
множество континуума оказалось равномощным континууму, то 
это давало бы решение проблемы континуума.
П.С. Новиков вводит другую, не столь жесткую, как несчёт-
ность, характеристику «бедных» подмножеств 
–
быть не 1-й кате-
гории на некотором совершенном множестве
1
–
и ставит следую-
щий вопрос: можно ли на всяком релятивном континууме опреде-
лить функцию, которая не может быть продолжена до 
B
-функции, 
определённой на всём континууме. Он показал, что ответ оказы-
вается положительным [12]
2
. Заметим, что из существования