100 лет со дня рождения

 есть A-множество.
Попутно была доказана 2-я теорема отделимости для 
A
-мно-
жеств:
Если у двух A-множеств удалить их общую часть, то оставшие-
ся части отделимы посредством CA-множеств 
и был дан 
пример 
пары непересекающихся CA-множеств, не отделимых посредством 
B-мно жеств.
Таким образом, эта студенческая работа П.С. Новикова яви-
лась источником новых, весьма мощных методов в дескриптивной 
теории множеств. В той же работе П.С. Новиков изучил природу 
не более чем счётнозначных неявных 
B
-функций. Оказалось, что 
они всегда униформизируются посредством 
B
-функций; более то-
го, они распадаются на не более чем счётное число функций, оп-
ределённых, вообще говоря, на различных множествах, и таких, 
что каждая из них на том множестве, где она определена, совпада-
ет с некоторой 
B
-функцией.
П.С. Новиков показал также, что если плоское 
B
-множество 
таково, что в каждую точку оси абсцисс проектируется не более 
чем счётное число точек данного множества, то его проекция есть 
B
-множество. Отсюда вытекает, что неявная, не более чем счёт-
нозначная, 
B
-функция всегда оказывается определённой на неко-
тором 
B
-множестве [26].
Таким образом, природа неявных 
B
-функций в этой работе 
(1927 г.) была изучена исчерпывающим образом. За этим последо-
вал значительный цикл работ П.С. Новикова, связанных с систе-
матическим использованием принципа сравнения индексов. Он 

---

123
О работах П.С. Новикова в области дескриптивной теории множеств
определил трансфинитные индексы на проективных множествах 
класса 
A
2
и показал, что для них также имеет место принцип срав-
нения индексов; опираясь на этот принцип, он установил, что во 
2-м классе проективных множеств имеют место обращённые зако-
ны отделимости. А именно,
(1) 
любые два непересекающихся CA
2
-множества отделимы по-
средством B
2
-множеств
;
(2) 
если у двух A
2
-множеств (или CA
2
-множеств) удалить их об-
щую часть, то остающиеся части отделимы посредством A
2
-мно-
жеств
;
(3) 
существуют два непересекающихся A
2
-множества, не отде-
лимые посредством B
2
-множеств 
(см. [27]).
Очень важную роль в дескриптивной теории множеств играет 
вопрос о мощности множеств, принадлежащих тем или другим 
клас сам. Обычным средством для установления того, что несчёт-
ное множество некоторого класса имеет мощность континуума, яв-
ляется выделение в этом множестве совершенного подмножества. 
Именно таким образом П.С. Александровым было показано, что 
всякое несчётное 
A
-множество (а значит, и 
B
-множество) имеет 
мощность континуума. По отношению к 
CA
-множествам (а также 
и к 
A
2
-множествам) из свойств трансфинитных индексов вытекает, 
что несчётное множество этого класса либо содержит совершенное 
ядро, либо имеет мощность . Н.Н. Лузин постоянно привлекал 
внимание к проблеме о том, существует ли во всяком несчётном 
CA-
множестве совершенное ядро. Со свойственной ему способнос-
тью находить узловые проблемы в тех областях математики, кото-
рые его интересовали, он всегда считал, что это одна из основных 
задач дескриптивной теории множеств. В то же время сам Н.Н. Лу-
зин выдвинул гипотезу, связывающую возможность выделения со-
вершенного подмножества в несчётном множестве определённой 
природы с возможностью эффективного указания точки во всяком 
непустом множестве соответствующей природы. В частности, для