100 лет со дня рождения

2. Традиции и веление времени
Рассмотрим
 
теперь некоторые конкретные онтодидактические 
проблемы, относящиеся к преподаванию математики. Обсудим, 
прежде всего, какие требования должны предъявляться к общему 
уровню математических знаний независимо от типа учебного заве-
дения.
1. В нашей стране огромное внимание уделяется автоматиза-
ции и использованию ЭВМ. В недалеком будущем мастера на про-
изводстве, а, может быть, и квалифицированные рабочие будут 
вынуждены использовать в своей производственной деятельности 
вычислительную технику. Ещё в большей степени это будет отно-
ситься к научно-техническому и административному персоналу. 

---

214
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
Таким образом, знакомство с ЭВМ и программированием стано-
вится обязательным.
2. Громадное распространение приобретают новые механичес-
кие, физические и химические процессы в промышленности. При 
опи сании этих процессов нельзя обойтись без средств математичес-
кого анализа 
–
дифференциального и интегрального исчисления.
3. Общематематический язык находит всё большее и большее 
применение в самых различных областях человеческой деятельнос-
ти, в частности, в технических, естественных, гуманитарных нау-
ках. В связи с этим, надо вводить этот язык в курс средней школы 
(я имею в виду простейшую терминологию, идущую от теории 
множеств, математической логики, общей алгебры).
4. Всё более широкое распространение получает и, несомнен-
но, получит в дальнейшем аксиоматический метод. Видимо, пора 
вводить в школьный курс элементарное знакомство с простейши-
ми аксиоматическими системами. При этом представляется более 
целесообразным знакомство с такими аксиоматическими система-
ми, как группы, кольца, поля, но не с систематическим аксиома-
тическим изложением геометрии, так как оно очень громоздко.
5. Всё возрастающее прикладное значение теории вероятнос-
тей и статистики заставляет включить их элементы в курс школы.
6. Нельзя согласиться с наблюдающейся сейчас недооценкой 
геометрии как математической дисциплины. Развитие геометри-
ческой интуиции имеет колоссальное значение 
–
и само по себе, и 
как база для изложения основных идей математического анализа. 
Графические методы оказывают подчас неоценимые услуги.
В различных учебных заведениях целесообразно по-разному 
понимать строгость изложения. Так, например, в средних учебных 
заведениях (да и во многих вузах нематематического профиля) нет 
смысла гнаться за строгим изложением теории пределов и дейст ви-
тельных чисел. Вполне можно ограничиться интуитивным представ-
лением о пределе и непрерывности, описанием основных свойств 
предельного перехода и на этой основе развить аппарат дифферен-
циального и интегрального исчисления, но зато уделить должное 
внимание изучению графиков функций и всемерно содействовать 
развитию интуиции в понимании непрерывности.
Ведь никого не смущает, когда в других разделах курса мате-
матики поступают точно таким же образом. Так, например, в курсе 
средней школы и нематематических вузов нет элементов теории 
чисел или теоретических основ арифметики; никого не волнует от-
сутствие там доказательства единственности разложения целого 
числа на простые множители. А ведь этот факт вовсе не столь три-
виален, как может показаться 
–
существуют, например, такие чис-

---

215
Онтодидактика в математике
ловые системы (во многом похожие на систему целых чисел), где 
он не имеет места.
Вообще строгость изложения должна быть разумным образом 
согласована с профилем специальности. Во многих случаях излиш-
няя формализация математики препятствует развитию интуиции и 
полноценному усвоению материала. Нередко значительно важнее 
наглядность изложения и цельность предмета. Конечно, в специ-
альных математических учебных заведениях строгость изложения 
приобретает несравненно большую роль, однако и здесь строгому 
изложению полезно предпосылать некоторую пропедевтику, рас-
считанную на развитие интуиции. Другое дело, что никогда нельзя 
допускать неправильных доказательств, вульгаризации или выда-
вать правдоподобные рассуждения за строгие доказательства.
Нужно очень тщательно выяснить, что должно даваться с 
обоснованиями, а что 
–
без обоснования. В последнем случае не 
стоит заниматься очковтирательством, т. е. нужно аккуратно фор-
мулировать те положения, которые вводятся в курс без доказатель-
ства, и ни в коем случае не допускать суррогатов рассуждений. 
В то же время непременно должно уделяться большое внимание 
развитию математической интуиции. Вузовский курс математики 
должен опираться только на знания средней школы и учитывать 
уровень математического развития, обеспечиваемый школой. Ма-
тематика должна представлять из себя цельную дисциплину. Одни 
её разделы изучаются более подробно, другие 
–
менее подробно в 
зависимости от нужд специальности, но методологическая основа 
должна быть единой.
Курс математики должен быть связан с другими основными 
предметами. С одной стороны, в нём должны рассматриваться ма-
тематические задачи, возникающие в рамках этих предметов, с 
другой стороны, математика должна по мере сил использоваться в 
других дисциплинах. Наконец, в каждом случае нужно очень тща-
тельно отбирать тот материал, в котором данная специальность за-
интересована, и исходить при этом из реальных потребностей, а не 
из традиций. Исключительно важен показ того, как математичес-
кие постановки задач возникают на почве конкретных задач и как 
математические методы позволяют решать задачи, имеющие кон-
кретное происхождение.