100 лет со дня рождения

II. Принципы, на основе которых
следует строить программу по математике
Прежде всего, курс математики должен быть цельным. Конеч-
но, он должен распадаться на главы с таким расчетом, что в после-
дующих главах используются идеи и методы, изложенные в преды-
дущих главах. Однако, от деления курса на арифметику, алгебру, 
геометрию и тригонометрию следует отказаться. При изложении
тригонометрического материала нужно смело использовать алгеб-
раические соображения, от значительной части традиционного 
арифметического материала давно пора отказаться. Так называе-
мые арифметические задачи следует решать алгебраическими 
средствами. В то же время материал, излагаемый в школьном кур-
се, нужно сильно расширить.
Мне хочется отметить несколько вариантов методологической 
основы построения математики в разных учебных
 
заведениях и со-
поставить их между собой.
Традиционный курс математики ориентирован на изучение не-
большого числа математических объектов, которые изучаются сред-
ствами, разработанными в античной древности и средневековье.
В современном университетском курсе изучается широкий 
круг объектов абстрактной природы и при этом используется ог-
ромный идейный арсенал. На этой основе разрабатывается весьма 
мощный математический аппарат, позволяющий решать весьма 
разнообразные задачи.
Программы разных других учебных заведений занимают про-
межуточное положение между этими двумя крайними типами ма-
тематических программ. Так, программы высших технических 
учебных заведений рассматривают менее широкий класс объектов, 
чем в университетах, используют менее суженный круг идей и при-
водят к построению аппарата не столь мощного, как это делается в 
университете.
В связи с тем, что было изложено в первом разделе, постара-
емся выяснить, на какой основе нужно строить современную 
школьную программу. Прежде всего, нужно очертить круг вопро-

---

207
О реформе математических программ
сов, с которыми школьник должен знакомиться в школе. Дальше 
нужно выяснить, в каких из этих вопросов нужна математика, в 
каком виде и в каком объёме. Кроме того, нужно присоединить 
сюда тот объём математических знаний, который будет настоятель-
но необходим большей части людей, оканчивающих школу в бли-
жайшее время, через 20
–
30 лет после окончания школы. На этой 
основе нужно составить перечень математических понятий, задач 
и методов, которые должны быть изложены в средней школе. Из 
этого нужно построить стройный математический курс. При этом 
нужно стараться сделать изложение возможно более доходчивым. 
Разумеется, в курс нужно ввести целый ряд достаточно общих тео-
рий и изучение целого ряда фундаментальных математических 
структур. Однако все эти абстрактные концепции должны возни-
кать на почве конкретных задач и должны быть сделаны наглядны-
ми, ощутимыми и прозрачными. При этом уровень абстрактной 
мысли на протяжении всего курса должен постепенно повышаться, 
но каждый переход на следующую ступень должен быть тщательно 
мотивирован и проиллюстрирован. Строгость изложения на каж-
дом этапе должна быть тщательно продумана и соразмерена с под-
готовкой учащихся. Следует обращать большое внимание на по-
становки задач. Очень важно рассматривать конкретные ситуации 
и возникающие в них содержательные задачи и показывать, как в 
этих условиях возникают математические задачи, решение которых 
способно пролить свет на исходные конкретные задачи. При этом 
особенно важно содействовать тому, чтобы учащиеся в той или 
другой степени предугадывали результат, который должен полу-
читься, т. е. нужно всемерно содействовать развитию у учащихся 
математической интуиции, и для этого необходимо решать боль-
шое количество разнообразных нетрафаретных задач с привлече-
нием весьма разнообразных соображений. Само собой разумеется, 
что интуиция должна подкрепляться точной мыслью. Нужно при-
учать учащихся к тому, чтобы, совершив эвристическую догадку, 
они умели строго обосновать её правильность. Конечно, опреде-
лённый элемент формализма в курсе математики неизбежен. Но 
совершенно необходимо, чтобы этот формализм был доведён до 
конкретного воплощения, понятного учащимся. Чрезвычайно удоб-
но в целом ряде случаев использовать аксиоматический подход для 
описания типичных математических структур. Но совершенно не-
обходимо, чтобы учащиеся отдавали себе отчёт в том, что именно 
воплощено в системах аксиом. При этом, конечно, нужно исполь-
зовать избыточные системы аксиом (обращая внимания на то, в 

---

208
III. ИЗБРАННЫЕ СТАТЬИ А.А. ЛЯПУНОВА
каких конкретных случаях они выполняются) и, конечно, не сле-
дует заниматься вопросами о независимости аксиом или о непро-
тиворечивости системы аксиом. Нужно помнить, что аксиомати-
ческое изложение очень выгодно во многих прикладных вопросах. 
Оно дает учебную форму фиксации совокупности тех допущений, 
на основе которых строится теория.