10. Amaliy mashg’ulotlar ishlanmasi

2.6-Misol. ketma-ketlikning barcha limitik nuqtalarini toping.

Yechish. Dastlab bu ketma-ketlik uchun va nuqtalar limitik nuqtalar ekanligini ko'rsatamiz. Ikki holni qaraymiz:

1-hol). bo’lsin. Bu holda

Bu yerdan, hosil bo'ladi. Yuqoridagi kabi deb olsak, barcha uchun tengsizlik bajariladi. Bundan ko'rinadiki, qaralayotgan ketma-ketlikning nomerdan boshlab barcha juft indeksli hadlari atrofda yotadi. Demak, ketma-ketlikning limitik nuqtasidir.

2-hol). bo’lsin. Xuddi yuqoridagidek qaralayotgan ketma-ketlikning nomerdan boshlab barcha toq hadlari atrofda yotishini ko'rsatish mumkin. Demak, berilgan ketma-ketlikning limitik nuqtasi bo'ladi. Birinchi misolda ko'rsatilgani kabi berilgan ketma-ketlikning boshqa limitik nuqtalari mavjud emasligini tekshirish qiyin emas.

Ketma-ketlikning limiti ta'rifida limitning qiymati qatnashadi. Lekin har qanday (hatto yaqinlashuvchi) ketma-ketlik uchun ham ham limitning qiymatini topish hamma vaqt oson emas. Shu sababli amalda ketma-ketlik yaqinlashishining limitning qiymati qatnashmagan alomatini bilish zarurdir. Bu alomat Koshi kriteriyasidir.

2.7-Misol.2 Ushbu ketma-ketlikni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. Bu ketma ketlik uchun ayirmani baholaymiz:

Demak Koshi kriteriyasiga asosan ketma-ketlik yaqinlashuvchidir.

2.3.Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar:

1. Ta’rifidan foydalanib, berilgan ketma-ketliklarni chegaralanganlikka tekshiring va ko’rsatilgan limitga ega ekanligini isbotlang.

a) ; . b) ; .

v) ; . g) ; .

2.Ushbu ketma-ketliklarning limitga (chekli yoki cheksiz) ega ekanligini aniqlang va limit mavjud bo’lsa uni toping. Kompleks tekislikda ketma-ketlikning birinchi beshta hadini tasvirlang.

a) ; b) ; v) ; g) .

3. kompleks parametrning qanday qiymatlarida ketma-ketlik yaqinlashadi:

a) ; b) ; v) ; g) .

4. Quyida berilgan ketma-ketliklarning barcha limitik nuqtalarini toping

a) , b) , v) , g)

d) e) ,

5. Quyidagi ketma-ketliklarning limitik nuqtalarini toping:

a) ; b) ;

v) ; g) ;

d) ; e) ;

j) ; z) ; i)

k) ; l) ; m)

6. Quyidagi ketma-ketliklarni yaqinlashishga tekshiring.

a) ; b)

v)