|
ta’rif. Elementar mulohazalarning hamma qiymatlar satrlarida faqat chin qiymatni qabul qiluvchi formula aynan chin (doimo chin) formula yoki tavtologiya deb ataladi va J bilan belgilanadi.
A formulaning tavtologiya ekanligi yoki emasligi qiymatlar jadvalini tuzish orqali bilinadi.
Misollar:
J x (x y) y formula tavtologiyadir. Haqiqatan:
x
|
y
|
x y
|
x (x y)
|
x (x y) y
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
J (x y) (x y) formula ham tavtalogiyadir:
x
|
y
|
x
|
x y
|
x y
|
(x y) (x y)
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ta’rif. Elementar mulohazalarning hamma qiymatlar satrlarida faqat yolg‘on qiymatni qabul qiluvchi formulalar aynan yolg‘on (doimo yolg‘on) yoki bajarilmaydigan formulalar deyiladi va J bilan belgilanadi.
Masalan,
J ( x y) ( x y)
aynan yolg„on formuladir:
x
|
y
|
x
|
x y
|
x y
|
x y
|
(x y) (
x y)
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
Ma‟lumki, aynan chin formulaning inkori aynan yolg„on formula bo„ladi va aksincha. Aynan chin va aynan yolg„on formulalar unga kiradigan o„zgaruvchilarga bog„liq bo„lmay, faqat bitta qiymat qabul qiladi.
ta’rif. Agar
( А В)
tavtologiya bo‘lsa, u holda А va В lar mantiqiy
ekvivalent deb aytiladi. Agar mantiqiy xulosasi deb aytiladi.
( А В)
tavtologiya bo‘lsa, u holda В А ning
Endi E.Mendelsonning [39] kitobida bayon etilgan tavtologiyalarga tegishli ayrim teoremalarni keltiramiz:
teorema. Agar А va
А В
aynan chin formulalar (tavtologiyalar)
bo‘lsa, u holda В formula ham tavtologiya bo‘ladi.
Isbot. А va
А В
tavtalogiyalar bo„lsin. А va В formulalarning tarkibiga
kiruvchi o„zgaruvchilarning biror qiymatlar satrida В formula yolg„on qiymat qabul qilsin. А formula tavtologiya bo„lganligi uchun o„zgaruvchilarning o„sha qiymatlar satrida А chin qiymat qabul qiladi. U vaqtda ( А В ) formula yolg„on qiymat qabul qiladi. Bu natija ( А В ) ning tavtologiya degan farazimizga qarama- qarshidir. Demak, В tavtologiyadir.
teorema. Agar
x1 , x2 ,..., xn
o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan А formula
tavtologiya va В formula А formuladan
x1 , x2 ,..., xn
o‘zgaruvchilar o‘rniga mos
ravishda
А1, А2 ,..., Аn
formulalarni qo‘yish natijasida hosil etilgan bo‘lsa, u holda
В formula tavtologiya bo‘ladi, ya’ni tavtologiyada o‘rniga qo‘yish yana tavtologiyani keltiradi.
Isbot. А tavtologiya bo„lsin va В formula tarkibiga kiruvchi o„zgaruvchi
mulohazalarning ixtiyoriy qiymatlar satri berilgan bo„lsin. U vaqtda А1, А2 ,..., Аn
formulalar
y1 , y2 ,..., yn
(har bir
xi ch yoki yo qiymat qabul qiladi) qiymatlar qabul
qiladilar. Agar
x1 , x2 ,..., xn
larga mos ravishda
y1 , y2 ,..., yn
qiymatlarni bersak, u
holda А ning natijaviy qiymati В ning chinlik qiymatiga mos keladi. А tavtologiya bo„lganligi uchun В formula tarkibiga kirgan o„zgaruvchilarning berilgan ixtiyoriy qiymatlar satrida ch qiymat qabul qiladi. SHunday qilib, В doimo ch qiymat qabul qiladi va u tavtologiya bo„ladi.
teorema. Agar
А1 formula tarkibiga bir yoki ko‘p marta kirgan А formula
o‘rniga В formulani qo‘yish natijasida
В1 formula hosil etilsa, u holda
((А В) (А1 В1 )) tavtologiya bo‘ladi. Demak, А va В lar mantiqiy ekvivalent
bo‘lsa, u holda
А1 va
В1 ham mantiqiy ekvivalent bo‘ladi.
Isbot. Agar А va В formulalar o„zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar
satrida qarama-qarshi chinlik qiymatlariga ega bo„lsa, u holda ( А В) ning chinlik
qiymati yo bo„ladi va natijada
((А В) (А1 В1 ))
formula ch qiymat qabul
qiladi. Agar А va В lar o„zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar satrida bir xil
chinlik qiymati qabul qilsalar, u holda
А1 va
В1 formulalar ham bir xil chinlik
qiymati qabul qiladilar, chunki teoremaning shartiga asosan
В1 formula А1
formuladan А ning o„rniga В ni qo„yish natijasida hosil etilgan. Demak, bu holda
( А В)
ham,
(А1 В1 )
ham ch qiymat qabul qiladi. SHuning uchun
((А В) (А1 В1 )) formula ham ch qiymat qabul qiladi.
Demak,
((А В) (А1 В1 )) formula tavtologiya bo„ladi.
ta’rif. Elementar mulohazalarning kamida bitta qiymatlar satrida chin qiymat qabul qiluvchi va aynan chin bo„lmagan formulaga bajariluvchi formula deb aytiladi.
52. Mantiq funktsiyalari uchun rostlik jadvalini tuzish.
J x (x y) y formula tavtologiyadir. Haqiqatan:
x
|
y
|
x y
|
x (x y)
|
x (x y) y
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
J (x y) (x y) formula ham tavtalogiyadir:
x
|
y
|
x
|
x y
|
x y
|
(x y) (x y)
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
ta’rif. Elementar mulohazalarning hamma qiymatlar satrlarida faqat yolg‘on qiymatni qabul qiluvchi formulalar aynan yolg‘on (doimo yolg‘on) yoki bajarilmaydigan formulalar deyiladi va J bilan belgilanadi.
Masalan,
J ( x y) ( x y)
aynan yolg„on formuladir:
x
|
y
|
x
|
x y
|
x y
|
x y
|
(x y) (
x y)
|
ch
|
ch
|
yo
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
yo
|
yo
|
ch
|
ch
|
ch
|
yo
|
yo
|
53. Diz'yunktiv va kon'yunktiv normal shakllar
Do'stlaringiz bilan baham: | 
