Jadvalga izoh

Jadvalga izoh: SREDNEE satrida tanlanmalarning o‘rtachalarining qiymatlari, DISPERSIYA satrida tanlanmalarning dispersiyalarining qiymatlari, NABLYUDENIYA- satrida tanlanmalarning hajmlari, GIPOTETICHESKAYA RAZNOST SREDNIX - satrida

2- (^A'l ~ ^Л'2 ) ~ (^1 ~ ^£72 )

o'rtachalarning nazariy farqi — a, - a₂ miqdor kattaligi; Z satrida
statistika qiymati, P(Z ODNOSTO-
RONNEE va P(Z DVUXSTORONNEE satrlarida mos ravishda biryoqlama va ikkiyoqlama P(Z ehtimolliklar, z KRITICHESKOE ODNOSTORONNEE va г KRITICHESKOE DVUXSTORONNEE
satrlarida mos ravishda 24>(Z,) = 1 -2a va 2(z_k)=\-a shartlaridan
aniqlanuvchi Z statistika uchun biryoqlama va ikkiyoqlama Zfc kritik qiymatlar keltiriladi.

1. 
   Bosh to‘plamlar dispersiyasilari noma’lum bo‘lgan holda bosh to'plamlar o'rtachalari haqidagi gipotezani tekshirish
   

Ikki (bir) yoqlama test (a ishonchlilik darajasiga asosan).

1. 
   Nolinchi gipoteza: ikki tanlanmabir-birigabog'liq emas, bosh to‘plamlar dispersiyalari noma’lum bo'lgan va bir xil o'rtachaga ega
   

bo'lgan a, = ci₂ normal bosh to'plamlardan olingan va alternativ gipoteza: birinchi tanlanmaning bosh to'plam o'rtachasi ikkinchi
tanlanmaning bosh to'plam o'rtachasidan farqli а, Ф ct₂ (katta a_x > a-, yoki kichik a < a₂) degan taxminlardan iborat:
#₀ : a, = a
Я, : а_хФ ci₂ (о, > a₂ ёки о, < ci₂).

2. 
   Ikki hoi bo'lishi mumkin: bosh to'plamlar dispersiyalari teng va teng emas. Bu ikki holni farqlab olish uchun awal bosh to'plamlar dispersiyalari tengligi haqidagi gipotezani tekshirish kerak (ushbu paragrafning 4 punktiga qarane). Tekshirish natijasiga qarab qaror qabul qilinadi: bosh to'plamlar dispersiyalari o'zaro teng (A hoi) yoki bosh to'plamlar dispersiyalari teng emas (B hoi).
   

240
(x, ~x,) —(o, - a₂)




/7, +n₂ -2 ^/7, n_{2 /}

yoki

v _ (*■ -^)~(^gi -^ai)

/7,-1 77,-1
(B hoi),
bunda 77, vaT?₂ — talanmalar hajmlari; х, va ,v₂ — tanlanma­larning o'rtachalari; д² va s₂ ~ tanlanmalarning siljimagan disper­siyalari.

1. 
   So‘ngra:
   

(A hoi): Ilovada keltirilgan Styudent taqsimotining kritik qiymat­lari berilgan 7-jadvaldan T uchun kritik qiymat T_t =t(a/2\n_l +n₂-2) (biryoqlama test uchun: T_k =/(«;/?,+ n₂-2)) aniqlanadi.
Agar -T_{k k} bo'Isa, nolinchi gipoteza N₀ qabul qilinadi, alternativ gipoteza N_; inkor etiladi; agar T_k yoki T<-T_k bo‘lsa, nolinchi gipoteza N₀ inkor etilib, alternativ gipoteza N1 qabul qilinadi (biryoqlama test uchun: agar T_k > T (yoki T > —T_k) bo‘lsa, nolinchi gipoteza N₀ qabul qilinadi, alternativ gipotezaN1 inkor etiladi; agar T^ (yoki T<-T_k) bo‘lsa, u holda nolinchi gipoteza N₀ inkor etiladi, alternativ gipoteza N_{ qabul qilinadi.)
(B hoi) Quyidagi statistika

— (^Л1 ^a2 )




normal taqsimotga ham Styudent taqsimotiga ham bo‘ysunmaydi. Agar tanlanmalar hajmlari katta bo'Isa ( > 30 ), bu statistika taqsimoti normal taqsimotga yaqinlashadi. Bu holda ilovada keltirilgan Laplas-
241

ning integral funksiyasi F(x) qiymatlari berilgan 4-jadvaldan 20(Z_t)=l-2o' tenglikni qanoatlantiruvchi Z uchun kritik qiymat aniqlanadi (biryoqlama test uchun: 20(z,)=l-2a ). Agar

• 
  Z_{k k} bo‘lsa, nolinchi gipoteza N_n qabul qilinadi. alter­nativ gipoteza N, inkor etiladi; agar Z_k yoki Z<— Z_k boisa, nolinchi gipoteza N_n inkor etiladi vaalternativ gi->otezaNl qabul qilinadi (biryoqlama test uchun: Agar Z_k >Z (yoki Z>—Z_k) bo‘lsa, nolinchi gipoteza N₀ qabul qilinadi vaalternativ gipoteza N_t inkor etiladi; agar Z_k (yoki Z<— Z_k) bo‘lsa, nolinchi gipoteza N₀ inkor etiladi vaalternativ gipoteza N_t qabul qilinadi.)
  

2. 
   Bosh to'plamlar ulushlari haqidagi gipotezani tekshirish
   

Agar ikkita katta hajmdagi tanlanmalar bog‘liqsiz binomial taqsim­langan bosh to'plamlardan olingan bo‘lsa, tanlanmalar ulushlari- ning ayirmasi normal taqsimlangan bo‘ladi.

1. 
   Biryoqlama test (a ishonchlilik darajasiga asosan).
   

1. 
   Nolinchi gipoteza: ikki tanlanmabir-birigabog‘liq bo'lmagan, bir xil ulushga ega bo'lgan p_i = p₂ binomial taqsimlangan bosh to'plamlardan olingan vaalternativ gipoteza: birinchi tanlanmaning bosh to'plam ulushi ikkinchi tanlanmaning bosh to'plam ulushidan katta Pi > р_г (yoki kichik p_x < p₂) degan taxminlardan iborat:
   

h₀- p = pi =p₂;
#1^:Р|>Рз (y°^ki Pi < P2)*

2. 
   Quyidagi ifoda qiymati hisoblanadi:
   

(Pi-Pzbfei-Pa)
IPiQ-Pi) 1 Pi^-Pi) _t

• 
  ⁿ\ ⁿ2
  

bunda и, va n₂ — tanlanmalar hajmi; p, va p₂ — tanlanmalarning ulushlari.

3. 
   llovada keltirilgan Laplasning integral funksiyasi F(x) qiymat-
   

242
lari berilgan 4-jadval dan 2(Zj=l-2« tenglikni qanoatlantiruvchi Z uchun kritik qiymat Z^ aniqlanadi.

4. 
   Agar Z_k>Z (yoki Z>-Z_k) bo‘lsa, nolinchi gipotezaN_n qabul qilinadi, alternativ gipoteza N_t inkor etiladi; agar Z_k < Z (yoki Z<-Z_k) bo'lsa, nolinchi gipoteza N_n inkor etiladi, alternativ gipoteza N_t qabul qilinadi.
   

2. 
   Ikki yoqlama test (a ishonchlilik darajasiga asosan).
   

1. 
   Nolinchi gipoteza: ikki tanlanmabir-birigabog'liq bo'lmagan, bir xil ulushga ega bo'lgan p, = p₂ binomial taqsimlangan bosh to'plamlardan olingan vaalternativ gipoteza: bosh to'plamlar ulush­lari teng emas p_x Ф p₂ degan taxminlardan iborat:
   

Я₀ : p = p₀;
H\ '■ P* Po-

2. 
   Quyidagi ifoda qiymati hisoblanadi:
   

v_ (Pi-Pa)—(Pi —Рз)
V "l ^П2
bunda и, va n₂ — tanlanmalar hajmi; p_f va p₂ — tanlanmalarning ulushlari.

3. 
   llovada keltirilgan Laplasning integral funksiyasi F(x) qiymat­lari berilgan 4-jadvaldan 2(t>{Z_t)=\-a tenglikni qanoatlantiruvchi Z uchun kritik qiymat Z_k aniqlanadi.
   
4. 
   Agar -Z_{k t} bo'lsa, nolinchi gipotezaN_n qabul qilinadi, alternativ gipotezaN_t inkor etiladi; agar Z_kyoki Z<-Z_k bo'lsa, nolinchi gipoteza N_n inkor etiladi, alternativ gipoteza N_t qabul qilinadi.
   

3. 
   Taqsimot qonuni haqidagi gipotezani tekshirish.
   

Nolinchi gipoteza N₀ n hajmdagi x,,x₂x_n tanlanma F₀(x). taqsimot funksiyasiga bo'ysungan X tasodifiy miqdorga mos keladi degan taxmindan iborat bo'lsin. Bu gipotezani statistik tekshirish uchun x²*kriteriysi ishlatiladi. Sonlar o'qini m ta kesishmaydigan
243

/=i


p, = P{X eh,}, i = 1, 2, ..., in ehtimolliklami ma’lum bo'lgan F₀(x)
funksiya orqali hisoblaymiz. v_; orqali tanlanmaning /?,■ intervalga tushgan Xj elementlar sonini aniqlaymiz / = 1. 2, ..., m . Gipotezani tekshirish uchun quyidagi statistikani hisoblaymiz:





Agar N₀ gipoteza o'rinli bo'Isa,' n —> oo da x² statistikaning taqsimot qonuni erkinlik darajasi k = m - 1 ga teng bo'lgan x^{2 —} taqsimotga intilishini K.Pirson isbotlab bergan.
Ishonchlilik darajasi a bo'lsin. Ilovada keltirilgan x²-taqsimotin-




shartni



ing kritik qiymatlari berilgan 9-jadvaldan
qanoatlantiruvchi Xak qiymatni aniqlaymiz, bunda xl erkinlik dara
jasi к ga teng bo'lgan «xi-kvadrat» taqsimlangan.
Tanlanma asosida quyidagi statistikani hisoblaymiz:





Agar %² > Za.ic tengsizlik o'rinli bo'Isa, u holda biz ishonchlilik darajasi a bilan nolinchi gipoteza N_n ni inkor etamiz.Amaliyotda hj / = 1,2, ..., m intervallarni shunday tanlashadiki, ularga tushgan tanlanma elementlari soni kam bo'lmasin, masalan, np_t > 7 .
Agar F₀(x) taqsimot funksiyasi noma’lum parametrlarga bog'liq bo'Isa, p_t = P{X eh,} ehtimolliklami hisoblashda bu parametrlarni tanlanma asosida hisoblangan baholari bilan almashtiriladi. Bu holda k = m— 1 kattalik d — noma’lurn parametrlar soniga kamaytirilishi kerak, ya’ni: к = m - 1 - d .
244

Quyida xususiy holga maxsus to‘xtalib o‘tiladi.
Bosh to‘planining normal taqsiralanganligi haqidagi gipotezani
tekshirish

1. 
   X ning kuzatilayotgan barcha qiymatlar (ya’ni n hajmdagi tanlanma) oialig'ini m dona bir xil uzunlikdagi intervallarga boiamiz.
   

* _ -^r, + ^A',₊i *
Intervallar o‘rtalarini topamiz: ^x, — ; so‘ng x/ varianta-
ning chastotasi sifatida /-intervalga tushgan tanlanma elementlari soni olinadi. Natijada teng masofada joylashgan variantalar va ularga mos kelgan chastotalarni yozib olish mumkin:
♦ • •
*1 -^V2 ■ • ' ^Xn,
Щ *2 П_я
Bunda Z ⁿ, ⁼ⁿ.

2. 
   Bu statistik taqsimotga mos kelgan o‘rtacha qiymat hisoblana-
   

1
* 1 *

n
di: x ⁼~2-i^X' ' ⁿ< ^va °^lrtacha kvadratik chetlashishi hisoblanadi:
/=i
<=i

3. 
   X tasodifiy miqdorni standartlashtiriladi, ya’ni yangi Z taso-
   

_ X-x
difiy miqdorga o‘tiladi: Z = —— va intervallaming yangi chega-
cr
x - x * x_M - X*
ralari hisoblanadi:^ =——— va z_(+l =———. Z ning eng kichik
a cr
qiymati (quyi chegara) Zj ni -oo ga teng va Z ning eng katta qiymati (yuqori chegara) z_m ni oo ga teng deb olinadi.

4. 
   X tasodifiy miqdorning (л*,-intervalga tushishini ifo- dalovchi nazariy p_i ehtimolliklar p_t = 0(z_l+i)-0(z_i) tengliklar yordamida hisoblanadi. Bunda F(z) — Laplasning integral funksiyasi bo‘lib uning qiymatlari ilovaning 4-jadvalida keltirilgan.
   
5. 
   Va nihoyat, y} statistikaning qiymati hisoblanadi:
   

/ ■> \ n.~

• 
  n
  

ⁿP,
^,=l .
245

6. 
   Normal taqsimot (a;cr²) parametrlarga ega,ya’ni d = 2 ■ Shu sabab erkinlik darajasi k = m- l- d = m-3.
   
7. 
   Ilovaning z² taqsimotning kritik qiymatlari x~ _t ilovada be­rilgan 9-jadvaldan aniqlanadi.
   
8. 
   Agar Z~^<Zat bo'Isa, u holda a ishonchlilik bilan nolinchi gipotezani inkor etishgaasos yo‘q bo‘ladi.
   
9. 
   Agar Z~ > Z'_ak bo‘lsa, u holda a ishonchlilik bilan nolinchi gipoteza inkor etiladi.
   

Namunaviy masalalar yechish

1. 
   masala. (Bosh to‘plam dispersiyasi ma’lum bo'lganda bosh to'plam o'rtachasi haqidagi gipotezani tekshirish.)
   

Pomidor ko'chatlarining bo'yi o'rtachasi a = 43 sm va dispersi­yasi cr² =9 ga teng bo'lgan normal taqsimotga ega. 15 dona ko'chatlar o'tkazilishi kerak bo'lgan tuproqqa o'g'itlar normadan ikki barobar ko'proq solindi. Bu ko'chatlarning o'rtacha bo'yi 46 smga yetdi. Normadan ziyod solingan o'g'itlar foyda bermadi degan xulosa chiqa- rishimizga asos bormi?
Yechish: Masalani yechishda bir yoqlama testdan foydalanamiz: