1. Statistik fizika vazifalari. Fazalar fazosi. Tasviriy nuqtalar

55. Qattik jismlar issiqlik sig’imi. Eynshteyn va Debay nazariyalari.
Elektromagnit maydon energiyasi kvantlanganligi kabi qattiq jismda elastik to’lqin energiyasi ham kvantlangan bo’ladi. Bunday elastik to’lqin energiyasining bir kvantiga fonon deyiladi. Kristall panjarasini tashkil etuvchi atomlardan tuzilgan qattiq jism gamiltonianini atomlar tizimining normal tebranishiga tegishli bo’lgan garmonik ocssilyatordan tashkil topgan hadlar yig’indisi deb qarash mumkin. Klassik nazariyada normal tebranish panjara tekisliklarining deformasiya to’lqinidir, ya’ni tovush to’lqinidir. Kvant nazariyasida fonon deb ataluvchi kvantlar normal tebranishlar hosil qiladi.
Fonon:
(8.1)
energiyaga va:
(8.2)
impulsga ega.
Bu yerda:  - tebranish chastotasi;
v₀ - tovush tezligi;
- fononning to’lqin vektori;
- tovush to’lqinining tarqalish yo’nalishi bo’yicha birlik vektori;
- tovushning to’lqin uzunligi.
Uyg’otilgan holatda garmonik ossilyator ixtiyoriy kvantlarga ega bo’lishi mumkin bo’lganligi tufayli, fononlar Boze-Eynshteyn statistikasiga bo’ysunadi. Bundan tashqari fononlarning to’la soni doimiy emas, shuning uchun fononlarning kimyoviy potensiali nolga teng bo’ladi . N ta atomdan tashkil topgan qattiq jism 3N ta normal tebranishga ega. Shuning uchun chastotalari bo’lgan 3N ta xildagi fonon bo’lishi lozim. Bu chastotalarning qiymatlari panjara xususiyatlariga bog’liq. Debay metodiga asoslanib oddiy uch o’lchamli panjara uchun chastotaning taqsimoti formulasini hosil qilish mumkin. Kristallni V- hajmli bir jinsli elastik kontinium deb qaraladi. Fononlar chastotalari bunday tizimlarning 3N ta quyi normal chastotalari bo’ladi. Elastik kontinium normal chastotalarning uzluksiz taqsimotiga ega bo’lganligi uchun bizni chastotasi oralig’iga to’g’ri keluvchi normal tebranishlar soni qiziqtiradi va u


(8.3)

qiymatga ega. Bu yerda 3-soni normal tebranish uchta qutblanish yo’nalishiga ega ekanligini anglatadi. υ₀-tovush tezligining o’rtacha qiymati, maksimal chastota _max- ni

(8.4)

Shartidan foydalanib topamiz. (8.3) va (8.4) lardan, agar

bitta atomga to’g’ri keluvchi hajm (oddiy kristall uchun elementar yacheyka hajmi) desak,


(8.5)

Bunga to’g’ri keluvchi λ_min - to’lqin uzunligi

ya’ni, taqriban zarralar orasidagi masofaga teng. Darhaqiqat, diskret strukturada atomlar orasidagi masofadan kichik bo’lgan λ-li to’lqin bo’lishi mumkin emas.

Fononning spini butun songa teng bo’lganligi uchun, u ham fotonlar kabi Boze-Eynshteyn taqsimotiga bo’ysunadi, ya’ni

(8.6)

Shunday qilib, qattiq jismning to’la elastik tebranishlar energiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.


(8.7)
Yoki

desak,
(8.7a)
Bu yerda:
(8.8)
Endi:

munosabatni hisobga olgan holda (8.7a) - dan kristall panjara issiqlik sig’imi;

(8.9)

ekanligini hosil qilamiz. Bu yerda:

Debay funksiyasi. Shunday yo’l bilan T_D/T-ning turli qiymatlari uchun S_v ning qiymatlari Debay tomonidan topilgan.
Chegara hollarni ko’rib chiqaylik: x_max<<1, ya’ni T>>T_D bo’lsin. U holda (8.8) va (8.10) da integral osti funksiyasi desak,