Mustaqil ish №1 nyuton interpolyatsion koʻphadlarini tuzish

MUSTAQIL ISH №1

NYUTON INTERPOLYATSION KOʻPHADLARINI TUZISH.

1. 
   Tengmas oraliqlar uchun Nyuton interpolyatsion koʻphadlari.
   

Aytaylik oraliqda x argumentning – n+1 ta turli xil qiymatlari berilgan boʻlib, ushbu nuqtalarda biror bir y=f(x) funksiyaning mos qiymatlari berilgan boʻlsin.

(1)

yaʼni f(x) funksiya ( f(x) ni aslida qandayligini bilmaymiz) jadval koʻrinishda berilgan boʻlsin.

Lagranj interpolyatsion koʻphadining kamchiliklari shundaki:

1. 
   Interpolyatsion koʻphad boʻyicha nomaʼlum funksiya qiymatini hisoblash uchun bajarilishi kerak boʻlgan amallar juda koʻp.
   
2. 
   Funksiya qiymatlar jadvaliga yana bitta tugun nuqta paydo boʻlsa (masalan qoʻshimcha maʼlumot paydo boʻlsa), barcha ishni qaytadan bajarishga toʻgʻri keladi.
   
3. 
   Interpolyatsiya tugunlari sonining oshishi, koʻphad darajasini oshishiga olib keladi, bu esa tugunlar oraligʻida funksiyani juda katta sakrashlariga sabab boʻladi.
   

Bunday kamchiliklardan holi boʻlgan interpolyatsion koʻphad NYUTON tomonidan kashf qilindi. Nyuton interpolyatsion koʻphadni:

Koʻrinishda qidirishni taklif qilib, , i=0,…,n shartlar bajarilishini talab qildi.

Buning uchun -ketma-ketliklar uchun quyidagicha chekli ayirmalarni kiritamiz:

- 1-tartibli chekli ayirmalar deyiladi.

i=0,…,n-1 – lar uchun n ta birinchi tartibli chekli ayirmalar topilgandan keyin, ikkinchi tartibli chekli ayirmalar topiladi:

- i=0,…,n-2, 2-tartibli chekli ayirmalar va hokazo shu tartibda 3-, 4-, …tartibli boʻlingan ayirmalar topiladi. Umumiy holda k-tartibli boʻlingan ayirmalar maʼlum boʻlsa, u holda (k+1) –tartibli boʻlingan ayirmalar quyidagicha aniqlanadi:

Boʻlingan ayirmalar quyidagicha jadval koʻrinishida toʻldiriladi.

Shunda





, …….

Bu koeffitsiyentlarni hisoblashni quyidagicha jadval koʻrinishda ifodalash mumkin:

		-1-tartibli chekli ayirmalar	-2-tartibli chekli ayirmalar	3-tartibli chekli ayirmalar
		=
		=

Jadvaldan koʻrinib turibdiki 1-tartibli boʻligan ayirmalarsoni n ta (nuqtalar soni n+1 ta), 2-tartibli ayirmalar soni n-1 ta, …, tartib ortib brogan sariboʻlingan ayirmalar soni bittadan kamayib boradi. N-tartibli boʻlingan ayirma bitta boʻladi. Jadval uchburchag koʻrinishida boʻlib, ushbu jadval yuqori qismidagi sonlar ajratib koʻrsatilgan boʻlib, bu sonlar Nyuton interpolyatsion koʻphadi koeffitsiyentlarini hosil qiladi. Ular asosida Nyuton interpolyatsion koʻphadi tuziladi.

Misol. y=f(x) funksiya quyidagicha jadval koʻrinishda berilgan boʻlib, uning uchun chekli ayirmalar jadvali quyidagicha koʻrinishni oladi:

		1-tartibli chekli ayirmalar	2-tartibli chekli ayirmalar	3-tartibli chekli ayirmalar	4-tartibli chekli ayirmalar
-1	5
0	3
1	3
2	23
3	105

Jadval asosida Nyuton interpolyatsion koʻphadini tuzamiz:

Hosil boʻlgan koʻphad funksiya qiymatlar jadvaliga toʻla mos keladi. Bu koʻphad asosida funksiyaning istalgan nuqtadagi qiymatini taqriban hisoblasa boʻladi. Masalan

Lagranj va Nyuton interpolyatsion koʻphadlari aslida bitta masala yechimi boʻlganligi uchun, ular faqat tuzilish usuli bilan farq qiladi.

Shuning uchun ham topilgan qiymat xatoligini baholashda ham Lagranj koʻphadi qoldiq hadi formulasidan foydalanish mumkin. (h bizning misolda 1 ga teng qilib olingan interpolyatsiya qadami)



chegaralangan desak xatolik tartibi,

boʻladi.

Soddalik uchun yuqoridagi jadvalni tahlil qilaylik, agar jadvalda faqat -1, 0, 1, 2 – qiymatlar berilganda edi. Nyuton interpolyatsion koʻphadi:

Koʻrinishda boʻlar edi. Agar x=3 nuqtadagi maʼlumot ham qoʻshilsa:

Koʻphad hosil boʻladi. Demak keltirilgan mulohazalar oʻrinli.

Eslatma. Interpolyatsion koʻphadlar funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari asosida tuziladi va uning xatoliggi tartibida boʻladi deyiladi. Bu xulosa faqatgina oraliqdagina oʻrinli boʻladi. Bu oraliqdan tashqaridagi nuqtalarda hech qanday xulosa qilib boʻlmaydi. Bunday masalalar ekstrapolyatsiya masalalari deyiladi.

2) Teng oraliqlar uchun Nyuton interpolyatsion koʻphadi.

Agar interpolyatsiyalash tugunlari bir-biridan bir xil masofada joylashgan boʻlsa, yaʼni boʻlsa, u holda almashtirish kiritiladi.

Funksiyaning qiymatlar jadvali asosida chekli ayirmalar jadvali tuziladi.

…………………………………..

Chekli ayirmalarni hisoblash tartibini quyidagi jadval koʻrinishida aks ettirish mumkin:

		1-tartibli chekli ayirmalar	2-tartibli chekli ayirmalar	3-tartibli chekli ayirmalar

Jadvalni yuqori dioganalida hosil boʻlgan ajratib koʻrsatilgan koeffitsiyentlar asosida Nyuton interpolyatsion koʻphadi quriladi.



. (*)

Ushbu formulaga Nyutonning birinchi interpolyatsion koʻphadi yoki teng oraliqlar uchun Nyutoning birinchi interpolyatsion koʻphadi deyiladi.

F(x) qiymatni aniqlash uchun avval =t formulaga koʻra t topiladi va (*) formulaga qoʻyilib,

Ushbu koʻphadni y=f(x) funksiyani jadval boshiga yaqin atrofida interpolyatsiyalash uchun ishlatish maqsdga muvofiq.

Jadval oxiridagi qiymatlarni interpolyatsiyalashda birinchi interpolyatsion koʻphad noqulay, bunday hollarda Nyutonning 2-interpolyatsion koʻphadidan foydalaniladi.

Bunda , , , , …., – koeffitsiyentlar jadval pastki dioganalidagi koeffitsiyantlar.

Eslatma. Agar va ning qiymati ga yaqin boʻlsa 1-interpolyatsion koʻphaddan, agar va ning qiymati ga yaqin boʻlsa 2- interpolyatsion koʻphaddan foydalanish mumkin.

Demak 1-interpolyatsion koʻphad oldinga interpolyatsiyalash , 2-interpolyatsion koʻphad orqaga interpolyatsiyalash ham deyiladi.

Амалиётда аппроксимация масаласини ечишда қуйидаги усулдан фойдаланишни тавсия қилиш мумкин. Функциянинг қийматлар жадвалидаги бартараф қилиб бўлмас хатолик тартибига кўра, хамда жадвал қадами га кўра интерполяцион кўпхаднинг самарали даражаси танланади. Сўнгра керакли қийматга қараб жадвал қисми танланади ва интерполяцион кўпхадини жадвалнинг айнан танланган қисми бўйича тузилади. Тузилган кўпхад ёрдамида функциянинг изланаётган қиймати ҳисобланади.

Бу қоидани қуйидаги мисолда тадбиқ қилиш намунасини кўрамиз. Функция қийматлар жадвали

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	2,71	2,65	2,53	2,45	2,37	2,5	2,61	2,75	2,9	3,21

Кўринишда берилган бўлиб, бу қийматлар таркибида ўлчов воситалари шкала кўрсаткичларини яхлитлаш хисобига 0,005 тартибида яхлитлаш хатолиги мавжуд бўлсин. Шу маълумотлар асосида ) қийматини топиш талаб қилинаётган бўлсин.

Вазиятдан кўриниб турибдики бартараф қилиб бўлмас хатолик бўлган жадвал қийматлар асосидан функция қийматини ундан аниқроқ топишнинг иложи йўқ. Берилган жадвалда бўлиб, тўлиқ жадвал асосида тузилган интерполяцион кўпхад даражаси 9 бўлиб, бўлганлиги учун хатолик тартиби бўлади. Мантиқан бундай аниқликка эришиш мумкин эмас. Чунки жадвал қийматларида хатолик бор. Шунинг учун интерполяцион кўпхад самарали даражасини аниқлаш керак бўлади. Бунинг учун

Тенгликни тавсия қилиш мумкин. Бундан етарли эканлиги кўринади. Демак 2-даражали интерполяцион кўпхад тузсак хам етарли бўлар экан. Бунинг учун эса 3 та жадвал қиймат етарли бўлади. Жадвалдан ўз ичига оладиган қийматларга мос қисмини олиш мумкин. Қуйида амалий хисоблар тартиби кўрсатилган. бўлганлиги учун чекли айирмалар жадвалини 2-тартибгача олиб бориш етарли.

0	2,71
		-0.06
0,1	2,65		-0.06
		-0.12		0,1
0,2	2,53		0.04		-0,16
		-0.08		-0,04		0,41
0,3	2,45		0		0,25		-1,1
		-0.08		0,21		-0,69		2,51
0,4	2,37		0.21		-0,44		1,41		-4,99
		0,13		-0,23		0,72		-2,48		9,13
0,5	2,5		-0,02		0,28		-1,07		4,14
		0,11		0,05		-0,35		1,66
0,6	2,61		0.03		-0,07		0,59
		0.14		-0,02		0,24
0,7	2,75		0.01		0,17
		0.15		0,15
0,8	2,9		0.16
		0.31
0,9	3,21

Жадвални ажратилган қисми ва белгиланган коэффицентлар асосида Ньютон интерполяцион кўпхадини тузамиз.

Бу ерда бўлгани учун бўлади

Одатда натижалар ишончли рақамлар билан ифодаланганлиги маъқул. Бизда интерполяцион кўпхад хатолиги тартибда бўлганлиги учун натижа яхлитланган.

Агар жадвалдаги яхлитлаш ёки аниқлаш хатоликлари тартибда бўлса яъни 3-даражали кўпхад тузилган бўлар эди. Умумий қоида сифатида тўлиқ жадвал 2-4 та қисмга ажратилса ва хар бири учун алохида интерполяцион кўпхадлар тузилса, бутун жадвал қамраб олинади. Тузилган кўпхадларни деб белгиласак исталган қиймат учун жадвал қисмига қараб керакли кўпхад танланиб функция қийматини аниқлаш мумкин.

VARIANTLAR

QUYIDA JADVAL KOʻRINISHDA BERILGAN FUNKSIYA UCHUN NYUTON INTERPOLYATSION KOʻPHADLARI TUZILIB TAQRIBIY HISOBLASHLAR AMALGA OSHIRILSIN

(Har bir talaba jurnal nomeri N ga mos variantni ishlab, olingan natijalarini tizimga baholash uchun tashlashi lozim)

Har bir talaba variant nomeri N ga mos nomerdan boshlab 10 ta qiymat koʻchirib olishi lozim. Birinchi qiymati ni deb olib, variantiga mos i=0,1,2,…,9 jadval hosil qilinsin. Hisoblashlarda Excel dasturlar paketidan foydalaning. Jadvaldagi yaxlitlash yoki aniqlanish xatoliklari ni tashkil qilsa

1. 
   Interpolyatsion koʻphadning samarali darajasi aniqlansin. -0.2
   
2. 
   Mos chekli ayirmalar jadvalini tuzing. – 0.3 ball
   
3. 
   Jadval koʻrinishda berilgan funksiyani , va ; nuqtalaridagi qiymatlarini mos Nyuton interpolyatsion koʻphadlari yordamida taqriban hisoblansin. -1.2 ball
   
4. 
   Hisoblashda yoʻl qoʻyilgan xatolikni baholang. – 0.3 ball
   
5. 
   Ixtiyoriy tilda (masalan C++) ushbu masalani yechish dasturini tuzing. Dastur kodi va bajarilish skrinshotini hisobotga qoʻshing. – 0.5 ball
   

5-SAVOLGA MISOL TARIQASIDA BOSHQA MISOLNI C++ DASTUR KODI VA DASTUR NATIJASINI KELTIRDIM