1§. Sonli qatorlar haqida tushuncha

2§. Funksional qatorlar haqida tushuncha.

Hadlari o’zgarmas kompleks sonlardan iborat bo’lgan qatorlar bilan yuqorida tanishib o’tdik.

Endi har bir hadi biror sohada aniqlangan kompleks o’zgaruvchili funksiyadan iborat bo’lgan qatorlar bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik bizga har bir hadi sohada aniqlangan kompleks o’zgaruvchining bir qiymatli funksiyalaridan tuzilgan ushbu
(1)
funksional qator berilgan bo’lsin.
Xususiy holda agar bo’lsa, bundan haqiqiy o’zgaruvchilar sohasidagi funksional qator kelib chiqadi.
Albatta so’nggi qatordagi har bir had faqat haqiqiy qiymatlarni qabul qiladi deb tushunmoq kerak.
Agar sohaga tegishli biror o'zgarmas sonni (1) ga qo’ygandan hosil bo’lgan ushbu
(2)
sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda berilgan (1) funksional qator nuqtadan yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar sohaning har bir nuqtasida (2) qator yaqinlashsa, o’sha qator sohada yaqinlashuvchi deyiladi.
Funksional qatorning yaqinlashish sohasini aniqlash asosiy masalalardan biri hisoblanadi.
(2) qator yaqinlashuvchi bolsa, uning yig’indisi aniq bir o’zgarmas songa teng bo'ladi.
Shuningdek, (1) qator sohada yaqinlashuvchi bo’lsa, uning yig’indisi ham sohada aniqlangan ning aniq bir funksiyasidan iborat bo'ladi ya’ni:
(3)
Bu qatorning - xususiy yig’indisi quyidagicha
belgilasak, ushbu
(4)
Ayirma (1) qatorning qoldiq hadi deb ataladi.
(3) va (4) ga asosan qatorning yaqinlashish sohasiga tegishli barcha z lar uchun

Ya’ni,
(5)
Buning ma’nosi shundan iboratki, agar (1) qator sohadagi ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda har qanday kichkina musbat son uchun shunday katta musbat sonni topish mumkinki, bo’lganda.

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Bu tengsizlikning bajarilishi umuman olganda ikki narsaga bog'liq:
bir tomondan ga, ikkinchi tomondan ga beriladigan qiymatga bog'liq.
Shu sababli izlanayotgan katta son ham bilan ga bog'liqdir
ya'ni,
Berilgan ga ko'ra (5) tengsizlikning o’rinli bo’lishi zarur. mavjud bo’lsa, (1) qator oddiy yaqinlashuvchi deyiladi.
Ba’zan bunday ham bo’lib qolishi mumkin:
sohaning barcha nuqtalari uchun ga bog’liq bo’lmagan, shunday umumiy musbat sonni topish mumkinki, ning hamma qiymatlari shundan katta bo’lmaydi ya’ni,

Demak bo’lganda (5) tengsizlik sohadagi hamma nuqtalar uchun bajariladi.
Bunday holda (1) qator tekis yaqinlashuvchi deb ataladi.
Berilgan funksional qatorga G sohada oddiy yaqinlashuvchi bo’laturib tekis yaqinlashmasligi ham mumkin.
Lekin, tekis yaqinlashuvchi qator, albatta, oddiy ham yaqinlashadi.
Bundan keyin “oddiy’’ degan so’zni tushurib qoldiramiz va to’g’ridan-to’g’ri “yaqinlashuvchi” deb ishlataveramiz.
2.1-misol. Ushbu
(6)
cheksiz geometrik progressiyani tekshiramiz bunda, - biror o’zgarmas son.
Ma'lumki geometrik progressiya ta hadining yig’indisi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Bu formula 1 dan farqli bo'lgan ixtiyoriy uchun to'g'ridir.
Agar |z|<1 bo'lsa va bo'lsa, bo'ladi.
Shunga asosan:

Demak (6) qator doira ichida yaqinlashuvchi bo’lib uning yig’indisi ga teng.
Birlik doira tashqarisida esa ya’ni bo’lganda qator uzoqlashadi.
aylanada ham (6) qator uzoqlashadi chunki bu holda qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi.
Endi (6) qatorning |z|<1da tekis yaqinlashishi yoki tekis yaqinlashmasligini tekshiramiz.
Shu maqsadda qoldiq hadni yozib olamiz:
, , (7)
tengsizlik yoki
, ya’ni
bajarilishi uchun

tengsizlik bajarilishi yetarlidir ( da bo'lgani uchun tengsizlik ishorasi o’zgaradi), bundan:
(8)
Bu tengsizlikning o’ng tomoni da cheksizlikka intiladi shu sababli
doiraning barcha nuqtalari uchun umumiy (8) tengsizlikning o’ng tomoni katta bo’lgan miqdorni topib bo’lmaydi, bu degan so’z ga bog’liq bo’lmagan shunday ni topib bo’lmaydiki, bo’lganda doiraning barcha nuqtalari uchun tengsizlik qanoatlantirilsin.
Demak doirada (6) qator tekis yaqinlashmaydi.
doirada yotuvchi doirada shu qatorni tekshirib ko’ramiz.
Istalgancha kichik uchun (8) tengsizlik o’ng tomondagi kasr musbat bo’lib, va bo’lgani uchun (8) o’sha kasr suratining absolyut qiymatining eng katta qiymati ga maxraj absolyut qiymatining eng kichik qiymati esa ga teng.
Demak (8) tengsizlikning o’ng tomoni doira nuqtalari uchun

sondan katta bo’lmaydi demak, bo’lganda (6) tengsizlik doiraning barcha nuqtalarida bajariladi, ya’ni (6) qator doirada tekis yaqinlashadi.
Shunday qilib, (6) qator radiusi 1 dan istalgancha kichik bo’lgan doirada tekis yaqinlashuvchi bo’lar ekan.
Haqiqiy o’zgaruvchilar sohasidagiga o’xshash kompleks o’zgaruvchilar sohasida ham berilgan funksional qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab beradigan juda sodda alomat (belgi) bor.