1§. Sonli qatorlar haqida tushuncha

1§. Sonli qatorlar haqida tushuncha

Hadlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan qatorlar matematik analizda chuqur tekshiriladi. Biz hadlari kompleks sonlardan tuzilgan ushbu

_{z1+z2+…+zn-1+zn+… (1)}
ko’rinishdagi qatorlar bilan tanishib o’tamiz.
Bu qatorlardagi har bir had o’zgarmas sondan iborat bo’lib, haqiqiy sonlardir. (1) qatorning xususiy yig’indilarini tuzamiz.


…………………

………………………………
Mana shu xususiy yig’indilarning
_{S1,S2, … ,Sn, … (2)}
ketma – ketligiga asoslanib (1) qatorning yaqinlashishiga ta’rif berish mumkin.
1.1- ta’rif. Agar n cheksizlikka intilganda (2) ketma – ketlik biror chekli limitga intilsa, ya’ni (2) ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi.
Demak, ta’rifga ko’ra (S – aniq son ) bo’lganda (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, S – son qatorning yig’indisi deyiladi.

Agar (2) ketma – ketlik ga intilsa yoki hech qanday limitga intilmasa, (1) qator uzoqlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi haqida so’zlash ma’nosizdir.
Endi , yig’indini boshqa ko’rinishga keltirib yozamiz:
bunda

Shu sababli (1) dan quyidagi qatorlar kelib chiqadi:
x₁+x₂+…+x_n+… (3)
y₁+y₂+…+y_n+… (4)
_{Bularning xususiy yig’indilaridan mos ravishda ushbu ketma – ketliklarni hosil qilish mumkin:}
(5)
(6)
Yuqoridagi ta’rifga ko’ra, agar va
( aniq sonlar) bo’lsa, (3) va (4) qatorlarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
1.1 – teorema. Agar hadlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan (3) va (4) qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda kompleks sonlardan tuzilgan (1) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha.
Isbot: Faraz qilaylik, (3) va (4) qatorlarning ikkalasi yaqinlashuvchi ya’ni limitlar mavjud bo’lsin.U holda limitlarning xossasiga ko’ra:
)
,
_Bunda aniq son bo’lgani uchun, ta’rifga ko’ra yaqinlashuvchidir. Aksincha S aniq son bo’lsa, va ham aniq son bo’ladi. Mana shu teoremaga asosan, agar (1) qatorning yaqinlashishini tekshirmoqchi bo’lsak, uning o’rniga (3) va (4) qatorlarning yaqinlashishini tekshirish kifoya, so’nggi qatorlarning hadlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgani uchun ularning yaqinlashishi yoki uzoqlashishinini matematik analiz kursida ko’rsatilgan alomatlar yordami bilan tekshiramiz.
Misol uchun, Dalamber yoki Koshi va boshqa alomatlardan foydalanish mumkin. Endi (1) qator hadlarining modularidan quyidagi qatorlarni tuzamiz:
(7)
(8)
1.2 – teorema. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot: (7) qator yaqinlashuvchi bo’lsin deylik, (8) ga asosan: va bo’lgani uchun va
qatorlarning har bir hadi (7) ning mos hadlaridan kichik shunga binoan so’nggi ikki qator yaqinlashuvchidir. Ikkinchi tomondan bu qatorlar (3) va (4) qator hadlarining absolyut qiymatlardan tuzilgan bo’lgani uchun (3) va (4) qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi. U holda oldingi teoremaga asosan (1) qator yaqinlashuvchidir. Shu bilan teorema isbot qilindi. Bunga tekari teorema umuman noto’g’ri .Agar (7) qator yaqinlashsa (1) qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.Bunday qatorlar tajribada ko’p ishlatiladi.Agar (1) yaqinlashuvchi lekin (7) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (1) qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi.
1.1 – misol. Ushbu qatorning xususiy yig’indisi
dan iborat.Bu qatorda - har qanday kompleks son .
Agar, bo’lsa, son, kattalashishi bilan nolga intiladi, ya’ni , .Aksincha, agar bo’lsa, - cheksizlikka intiladi.
Demak, bo’lganda , bo’lganda .
Ya’ni birinchi holda qator absolyut yaqinlashuvchi va yig’indisi dan iborat bo’lib, ikkinchi holda qator uzoqlashuvchidir.
Agar bo’lsa , qator yana uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki aniq songa intilmaydi.
1.2 – misol. Ushbu qatorning yaqinlashishi tekshirilsin: bunda .
Dastlab qatorning haqiqiy va mavhum qismlaridan tuzilgan qatorlarni yozib olamiz:
va
Bularning har bir geometrik progressiya bo’lib, maxrajlari dan iboratdir.Shu sababli mos qatorlarning yig’indilari quyidagilardan iborat:
va
Demak, qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi bo’ladi. Endi bu qatorning absalyut yaqinlashishini tekshirib ko’raylik ya’ni bo’lib,o’ng tomondagi son yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadidir.Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi ham ekan.