1§. Sonli qatorlar haqida tushuncha

1.5-teorema. Agar berilgan (1) va (9) qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo’lib ularning yig’indilari mos ravishda va dan iborat bo’lsa u holda ularning ko’paytmasidan iborat (15) qator ham absolyut yaqinlashib yig’indisi ga teng bo’ladi.
Isbot. Dastlab biz (1) va(9) qatorlarning hadlaridan tuzilgan ushbu
(16)
Ko’paytmalarni yozib olamiz. Mana shu hadlardan tuzilgan
(17)
qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz.
Uning uchun (17) ning modullaridan tuzilgan qatorning xususiy
(18)
Yig’indisining chegaralangan ekanligini ko’rsatish kifoya (18) yig’indiga kiruvchi (1) va(9) qatorlarning hadlarining eng katta nomeri (indeksi) n bo’lsin.
Endi (9) yig’indi ushbu
(19)
Ko’paytmadan katta bo’la olmaydi, chunki (19) dagi ba’zi hadlar (18) ga kirmay qolishi mumkin.
U holda (18) yig’indi ushbu ko’paytmadan albatta kichik bo’ladi, chunki (19) ga qaraganda (18) ko’paytma katta son.
Demak, (18) ko’paytma son bilan chegaralangan. U holda (17) qator absolyut yaqinlashuvchi ekan.
Endi (17) qatorning hadlaridan (15) qatorni tuzib olamiz:

1.1.2-teoremaga asosan (15) ham absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Eng so’ngida (15) qatorning yig’indisi ko’paytmaga tengligini ko’rsatish uchun (17) ning hadlaridan quyidagilarni tuzamiz:
,
,

Yuqoridagi teoremaga asosan bu qatorlarning har biri yaqinlashuvchi bo’lib quyidagi

qator yig’indisi bilan (15) ning yig’indisi bir xil bo’ladi.1.1.5-teorema isbotlandi.
Ma’lumki chekli yig’indi hadlarining joylari almashtirilsa yig’indining qiymati o’zgarmaydi.
Shuningdek yig’indilarni o’zaro hadlab ko’paytirish mumkin. Biz bu mavzuda absolyut yaqinlashuvchi qatorlar uchun ham bu xossalar o’rinli ekanini ko’rsatdik, ya’ni o’sha xossalarni cheksiz yig’indi uchun umumlashtirdik.
Qatorlarni ko’paytirishga doir teorema shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun umuman o’rinli emas, chunki ikkita shartli yaqinlashuvchi qatorning ko’paytmasi uzoqlashuvchi bo’lishi oldindan ma’lum bo’lsagina shartli yaqinlashuvchi qatorlarni ko’paytirishga yuqorida aytilgan teoremani qo’llash mumkin.