1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

Интервальной нзв оценку, к-рая определяется двумя числами – концами интервала. Инт.оценки позволяют установить точность и надежность оценок.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по ^* нзв вер-ть γ, с к-рой осуществл.нерав-во | - ^*|<δ. Заменив нерав-во | - ^*|<δ равносильным ему двойным нерав-вом -δ< - ^*<δ или ^*-δ<<δ+^* имеем

Доверительным нзв интервал (^*-δ, ^*+δ), к-рый покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.
1.Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

Где - точность оценки, n-объем выборки, t-значение аргумента ф-ции Лапласа Ф(t),при котором Ф(t)=γ/2; при неизвестном σ (и объеме выборки n<30)

где s-«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t_γ находят по таблице по заданным n и γ.
2. Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит довер. инт-л
(при q<1)
(при q>1)
Где q находят по таблице по заданным n и γ
3. Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вер-ти p биноминального распред-я по относ. частоте ω служит довер.инт-л (с приближ. концами p₁ и p₂)

где


Где n-общее число испытаний; m-число появлений событий; ω-относ.частота, равная отношению m/n;t-значение аргумента ф-ции Лапласа, при к-ром Ф(t)=γ/2(γ-заданная надежность).
Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в кач-ве приближ.границ довер.инт-ла



20. Статистическая проверка гипотез. Основные понятия. Статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го родов, уровень значимости и мощность критерия. Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины.
Статистическая проверка гипотез. Основные понятия. Уровень значимости и мощности критерия
Статистической гипотезой наз всякое непротиворечивое множество утверждений относительно закона распределения случайной величины.

С татистикой нзв произвольная функция Z = φ(Z_n) выборки Z_n, для значений к-рой известны условные плотности распределения f(z|H₀) и f(z|H₁) относительно проверяемой гипотезы H₀ и конкурирующей с ней альтернативной гипотезы H₁. Из опред следует, что Z есть СВ. Практическое применение мат. статистики состоит в проверке соответствия результатов экспериментов предполагаемой гипотезе. С этой целью строится процедура (правило) проверки гипотезы. Критерием согласия называется правило, в соответствии с которым по реализации статистики Z, вычисленной на основании апостериорной выборки z_n, гипотеза H₀ принимается или отвергается. Критической областью G называется область реализаций z статистики Z, при которых гипотеза H₀ отвергается. Доверительной областью G называется область значений z статистики Z, при которых гипотеза H₀ принимается. Уровнем значимости α критерия согласия называется вероятность события, стоящего в том, что гипотеза H₀ отвергается, когда она верна, т.е.
α =P{ZG|H₀}
где вероятность P соответствует условной плотности распределения f(z|H₀). Мощностью γ критерия согласия называется вероятность события, состоящего в том, что гипотеза H₀ отвергается, когда она неверна, т.е.
γ=P{ZG|H₁}
где вероятность P соответствует условной плотности f(z|H₁). Критической точкой z_β называется точка на оси Oz, являющаяся квантилем уровня
β=1 – α
распределения F(z|H₀), соответствующего плотности распределения f(z|H₀). На рис. показана графическая интерпретация введенных понятий, где β + α = 1, δ + γ = 1.



Статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го родов
Ошибка 1-го рода состоит в отклонении гипотезы, если она верна (пропуск цели).
Вероятность совершения ошибки 1-го рода обозначается α и наз. Уровнем значимости.
Ошибка 2-го рода – гипотеза принимается, если она неверна – β (ложное срабатывание).
Вероятность не совершить ошибку 2-го рода (1-β) наз. ложностью критерия.
Критерием (статистическим критерием) наз. случайная величина , которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу.

Проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона.
Пусть имеется апостериорная выборка z_n и требуется проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что непрерывная СВ X имеет определенный закон распределения f(x) (например, нормальный, равномерный и т.д.). Истинный закон распределения f(x) неизвестен. Для проверки такой гипотезы обычно используют критерий согласия хи-квадрат χ² (критерий Пирсона).


Критерием согласия называется критерий, использованный для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения.
Проверка состоит в следующем:
1)Строится интервал - статистический ряд и гистограмма
2) По виду гистограммы

3) На основе выборки находим точечные оценки

4) Интервал возможных значений разбиваем на m непересекаемых интервалов. В каждом из них фиксируем число показаний
5) Вычисляем вероятность показаний ξ в каждом интервале
6) Строим критерий χ²

Аналитическое выражение плотности ²- сложное, поэтому задаем уровень значимости α; k; находим

Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения.
Пусть известно, что СВ X имеет нормальное распределение. Требуется проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что m_X = m (m - некоторое фиксированное число), используя апостериорную выборку z_n. Возможны два случая: дисперсия (σ_X)² известна или неизвестна.
1) Дисперсия известна

2) Дисперсия неизвестна
В качестве оценки вводим выборочную дисперсию
В качестве статистики:



Гипотезы о значении дисперсии