1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

φ(-х)=φ(х)


Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если k – число наступления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события = Р, то равномерно относительно а и b, связанных так: – ∞ ≤ а ≤ b ≤ + ∞, имеет место соотношение при n→∞:

Функция Лапласа:

Ф( – х)= – Ф(х)

при n→∞.
Если n конечно



14. (1.)Векторные случайные величины. (2.)Свойства двумерной случайной величины. (3.)Двумерная дискретная случайная величина, её геометрическая интерпретация. (4.)Функция распределения и её свойства. (5.)Матрица распределения. (6.)Двумерная непрерывная случайная величина, её геометрическая интерпретация. (7.)Плотность распределения двумерной случайной величины и её свойства. (8.)Понятие независимости для двумерных случайных величин. (9.)Критерии независимости.
(1.) Кроме одномерных, случайных величин можно рассматривать многомерные, случайные векторы, координаты которых являются одномерными, случайными величинами. Пример:
1) Успеваемость ученика
2) Погода в данное время в данном месте.
Случайная векторная величина принимает каждый раз значения, зависящие от элементарного события. Таким образом, многомерная, случайная величина есть вектор-функция, заданная на пространстве элементарных событий, и каждое ее возможное значение есть вектор.
Будем обозначать через (X, Y) двумерную сл.вел-ну. Каждую из вел-н Х и Y нзв составляющей (компонентой); обе вел-ны Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух сл.вел-н. Аналогично n-мерную вел-ну можно рассматривать как систему n сл.вел-н. Например, трехмерная вел-на (X, Y, Z) определяет систему трех сл.вел-н X, Y и Z. Целесообразно различать дискретные (составляющие этих вел-н дискретны) и непрерывные (составляющие этих вел-н непрерывны) многомерные сл.вел-ны.
В теоретеко-множественной трактовке любая случайная величина X_i(i=1,2,…n) есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω (ωΩ).
Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω, т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел х₁,х₂,…x_n , которые приняли случайные величины Х₁,Х₂, …Х_n в результате испытания. В этом случае вектор х=(х₁,х₂,…х_n) называется реализацией случайного вектора Х= (Х₁,Х₂, …Х_n).
На вероятностном пространстве {Ω,F,P} определены n-мерные сл.вел-ны ξ₁=f₁(), ξ₂=f₂(), …, ξ_n=f_n() (f_i() измеримы). Вектор (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) нзв случ.вектором или n-мерной сл.вел-ной. Обозначим мн-во элемент.событий  {ξ₁1, ξ₂2, …, ξ_nn}, для к-рых одноврем.выполняется неравенство f₁()1, f₂()2, …, f_n()n, при этом {ξ₁1, ξ₂2, …, ξ_nn}F. Тогда при любом наборе х₁, х₂,…,x_n выполняется равенство F(х₁, х₂,…,x_n)=P{ξ₁1, ξ₂2,…, ξ_nn}. Эта ф-ция n-аргументов нзв n-мерной ф-цией распределения сл.вектора (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n).
Многомерная случайная величина полностью определяется ее функцией распределения вероятностей, удовл. след.условиям:
1. 0 F(х₁, х₂,…,x_n)1
2. F(х₁, х₂,…,x_n) не убывает по каждому аргументу
3.
4. где F(x_i) – ф-ция распред.одномерной сл.вел-ны ξ_i.
(2.) Двумерная сл.вел-на (ξ, ) – это совокупность 2-х одномерных сл.вел-н, к-рые принимают значения в рез-те проведения одного и того же опыта. Двумерные сл.вел-ны характеризуются мн-вами значений Ω_ξ и Ω_ своих компонент и совместными (двумерными) законами распределения. В зав-ти от типа компонент ξ и , различают дискретные, непрерывные и смешанные сл.вел-ны.