1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

x1	x2	……
xk
P^*i	n1	n2	……	nk

n_i - частота
-относительная частота

Замечание: В теории вероятности под распределениями понимают соответствие между возможными значениями случ.величины и их вер-тями. А в мат.статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.
Эмпирическая функция распределения:
n_x-число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака варианты меньше, чем х
n-общее число наблюдений (объём выборки)
 -частота события, когда Эмперической функцией распределения случ.величины  наз.функцию F*_ξ(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту событий:



Недостатки:
Невысокая наглядность (визуально сложно определить закон распределения сл.величины )
Гистограмма и полигон относит.частот:
Полигоном частот наз.ломаную, отрезки к-ой соединяют x_i и n_i.

Площадь гистограммы частот =сумме всех частот, то есть объёму выборки.
Статистические оценки параметров распределения (выборочная средняя, групповая и общая средняя, выборочная дисперсия). Формула для вычисления дисперсии.
*-статистическая оценка 

x_i -значение выборки
1) Оценка параметра наз.состоятельной, если при увеличении объёма выборки n она сходится по вероятности к значению теоретической оценки . Состоятельность -минимальное требование к оценкам.

2) Оценка * наз.несмещённой, если её мат.ожидание равно параметру  для любого объёма выборки

3) Смещённой наз. оценку, мат.ожидание к-ой не равно оцениваемому параметру.
4) Несмещённая оценка * наз.эффективной, если её дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра

Выборочная средняя:
Выборочной средней наз.среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.
1) х₁,х₂,…,х_n -все различны
n-объём выборки

2) х₁,х₂,…,х_k -появляются с опред.частотой.
x₁ – появляется n₁ раз
x₂ – n₂
x_k – n_k

Групповая и общая средняя:
Групповой средней наз.среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.
Общей средней наз.среднее арифм.значений признака,принадлежащих всей совокупности(выборки) -
Выборочная дисперсия (D_в):
Выборочной дисперсией наз.среднее арифмет.квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.
1)
2)


Среднеквадратическое отклонение. Формула дисперсии.

Выборочная дисперсия=ср.арифметическому квадрату значений выборки между квадратом общей средней.




18. Основные распределения в статистике. Распределение хи-квадрат. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.
Распределение ²
Пусть независимые случ.величины ξ_i где распределены по нормальному закону распределения, причем M[ξ_i]=0, а средн.квадратич. отклонение=1, тогда величина ξ_i распределена по закону ² с n степенями свободы.

ξ_i распределено по норм.закону-это значит,что:




-гамма функция
m-положительна Г(m+1)=Г(m)
m-целое Г(m)=(m-1)!
Распределение ² опред.одним параметром - числом степеней свободы n
f_(x) - называется графиком Пирснона
Они ассиметричны и начинаются с n>2, имею один максимум в значении x=n-2

Характериситческая ф-ция






Распределение Стьюдента:
Пусть V не зависит от Z и V распределена по закону ², и есть n степеней свободы, тогда вводим величину


, тогда величина T имеет распределение Стьюдента t с n-степенями свободы.

Плотность распределения:

Графики f_T(x) наз.кривыми Стьюдента, симметрична при всех n = 1,2,... относительно оси ординат.

С возрастанием числа степеней свободы распр-е Стьюдента быстро приближается к нормальному.


Распределение Фишера:
-независимые случ.величины, распределены по нормальному закону ² с n и m степенями свободы,
тогда

распределение Фишера с n и m степенями свободы.
Плотность этого распределения:

где

Распределение Фишера определяется 2-мя параметрами – числами степеней свободы.


19. Статистические оценки. Точечные оценки. Метод максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Интервальные оценки.