1-mavzu: To‘plamlar ustida amallar

tengsizlik o'rinli.

Isbot. x₁ va x₂ haqiqiy sonlar uchun (1) munosabatlarning ikkinchisi o'rinli:

-|x₁|≤x₁≤|x₁|,-|x₂|≤x₂ ≤|x₂|.

Bu tengsizliklarni hadlab qo'shib,

-(|x₁|+|x₂|)≤x₁+x₂ ≤| x₁| + |x₂|

tengsizlikni olamiz. 2- teoremaga ko'ra bu tengsizlikdan talab qilingan (9) tengsizlikni olamiz.

5- teoremani umumlashtirish ham mumkin. Bir qancha sonlar yig'indisining absolyut qiymati qo'shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig'indisidan katta bo'la olmaydi, ya'ni istalgan n N uchun

|x₁+x₂+...+x_n|≤|x₁| + |x₂|+...+|x_n| (10)

tengsizlik o'rinli.

6-teorema. Ikkita son ayirmasining absolyut qiy­mati bu sonlar absolyut qiymatlarining ayirmasidan katta yoki teng.

Isbot. |x₁ - x₂| ≥ |x₁| - |x₂| tengsizlikni isbotlashimiz

kerak. Istalgan x₁ va x₂ sonlar uchun

x₁₌(x₁-x₂)+x₂

tenglik o'rinli. (9) tengsizlikdan

|x₁| = |( x₁-x₂) + x₂|≤|x₁-x₂| + |x₂|

tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlikdan talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi: |x₁ - x₂|≥|x₁|-|x₂ |.

7-teorema. Ko 'paytmaning absolyut qiymati ko'paytuvchilar absolyut qiymatlarining ko'paytmasiga teng.

Isbot. Teoremani ikkita ko'paytuvchi uchun isbotlaymiz, ya'ni |x₁x₂| = |x₁|•|x₂| tenglik o'rinli ekanini ko'rsatamiz.

Absolyut qiymatning ta'rifiga ko'ra

|x₁x₂|≥0, |x₁|≥0, |x₂|≥0.

Bundan barcha hollar uchun |x₁x₂| = |x₁|•|x₂| bo'lishi kelib chiqadi. Bu teorema istalgan sondagi ko'paytuvchilar uchun ham o'rinli:

| x₁x₂...x_n| =|x₁|-|x₂|∙...∙| x_n|, n N. Agar x₁ = x₂ = ... = x_n = x bo'lsa, u holda