1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

Misol: y = x² funksiyaning ixtiyoriy x₀ va x₀=2, nuqtada uzluksizligini ko`rsating.
Yechish:
a)
x istalgan usul bilan nolga intilganda (63 a,b-chizmalar)

63-chizma.



b)

1-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa unda ularning yig‘indisi ham x₀ nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-Teorema. Har qanday elementar funksiya o‘zi aniqlangan har bir nuqtada uzluksizdir. (Teoremalarni mustaqil isbotlash talabalarda topshiriladi).


4.4.2. Uzluksiz funksiyalarning ba'zi xossalari.
Xossalar quyidagi teoremalar bilan ifodalanadi.
1-Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o'zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday nuqtalar mavjudki, barcha lar uchun va tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
Funksiyani qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb, ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi. Kesmada uzluksiz funksiya hech bo‘lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi (64-chizma).

64-chizma.

65-chizma.
2-Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo‘lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi f(c)=0; a(65-chizma).

66-chizma. 67-chizma.
Misol: funksiya berilgan. Bu funksiya [1,2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatan ham da y=0 (66-chizma).
3-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo‘lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A< shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy son uchun kamida bitta c[a;b] nuqta mavjudki, unda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi (67-chizma). 2 - teorema bu teoremani xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo‘lsa, u holda ni o‘rnida O ni olish mumkin.