1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

Misol:

2-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng.

Isboti:

bo‘lsin. ko‘paytma o‘zgarmas miqdor.
Demak,
Natija: o‘zgarmas ko‘paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin. Agar , c –o‘zgarmas. limc =c,

3-Teorema. Ikkita funksiya bo‘linmasining limiti, maxraj limiti noldan farqli bo‘lsa, bu funksiyalar limitlarining bo‘linmasiga teng.
Agar bo‘lsa,
Isboti:

Demak, U=a+α , V=b+β , bu yerda α va β cheksiz kichik miqdorlar.

4-Teorema (teorema isbotsiz keltiriladi) Agar uchta f₁(x), f₂(x) va funksiyalarning qiymatlari orasida ) tengsizliklar bajarilsa, bunda da (yoki da) f₁(x), va f₂(x) birgina b limitga intilsa, u holda da (yoki da) ham shu limitga intiladi, ya’ni bo‘ladi.
Bu teorema oraliq funksiyaning limiti haqida teorema deyiladi.

1. 
   Funksiyalar yig‘indisining, ko'paytmasining limiti haqidagi teoremalarni isbotlang.
   
2. 
   Bo‘linmaning limiti haqidagi teoremani isbotlang.
   
3. 
   Oraliq funksiyaning limiti haqidagi teoremani aytib bering.
   

4.3.Ajoyib limitlar.
4.3.1. da funksiyaning limiti.
T eorema. funksiya da 1 ga teng limitga ega.
Isboti. funksiya x=0 da aniqlanmagan, chunki kasrning surat va maxraji nolga aylanadi. Bu funksiyaning limitini topamiz. Radiusi 1 bo‘lgan aylanani qaraymiz (60-chizma).
60-chizma.

Markaziy burchakni x bilan belgilaymiz, bunda

Chizmadan quyidagilar chiqadi:
yuzi <MOA sektor yuzi yuzi.
yuzi S
MOA sektor yuzi S
yuzi S
Demak, sin x < x < tg x
Hamma hadlarni sinx ga bo‘lamiz.
yoki Bu tengsizliklarni x>0 deb chiqardik.
ekanini e'tiborga olsak, x < 0 bo‘lsa ham tengsizlik to‘g‘ri bo‘lib chiqadi.

Demak, funksiya shunday ikki funksiya oraliqidaki, ularning ikkalasi ham birgina limitga intiladi va u limit 1 ga teng (61-chizma).

61-chizma.