1-mavzu. Differensial tenglama. Asosiy tushuncha va taʼriflar. Differensial tenglama tushunchasiga olib keluvchi ayrim masalalar. Reja

Teorema. (Mavjudlik va yagonalik) Agar f(x,y) funksiya har bir x, y oʻzgaruvchisi boʻyicha D sohada aniqlangan va uzluksiz boʻlsa, shu bilan birga uning xususiy hosilasi ham shu sohada uzluksiz boʻlsa, u holda ushbu tenglamaning yagona y=y(x) yechimi mavjud va u shartni qanoatlantiradi.

Eslatma. 1) Grafik tasvirda ushbu teorema D sohaning har bir M(x,y) nuqtasidan bitta integral egri chiziq oʻtishini anglatadi.

2) Teoremadagi xususiy hosila ni uzluksizligi talabini, yumshoqroq shart bilan almashtirish mumkin, bunda N-oʻzgarmas kattalik. Shartni bunday yumshatilishi Koshi masalasi yechimini yagonaligini taminlaydigan f(x,y) funksiyalar sinfini kengaytiradi, lekin teorema isbotini qiyinlashtiradi.

Taʼrif 9. Teoremaning hech boʻlmaganda bitta sharti buziladigan nuqtalarga differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi.

Agar OXY tekislikning nuqtasi maxsus nuqta boʻlsa, u holda quyidagicha holatlar boʻlishi mumkin:

1. 
   nuqtadan birorta ham integral egri chiziq oʻtmaydi;
   
2. 
   nuqtadan bir nechta integral egri chiziq oʻtishi mumkin;
   

Misol. Yechimning mavjudlik va yagonalik teoremasidan foydalanib,

differensial tenglamaning yechimlar toʻplamini tekshiring.

1. 
   Koʻrilayotgan misol uchun . Ushbu funksiya OXY yuqori yarim tekislikda aniqlangan boʻlib, OX oʻqida ham aniqlangan.
   
2. 
   X ususiy hosila , y>0 boʻlganda uzluksiz. Barcha (x,0) nuqtalarda esa yechimning yagonaligi buziladi. Bu holda barcha (x;0) nuqtalar maxsus nuqtalar boʻladi. Demak integral egri chiziqlar, yaʼni yechimlar OX oʻqni kesib oʻtmaydi.
   
3. 
   differensial tenglamadan koʻrinib turibdiki y=0 sonli oʻq OX yechim boʻladi. Agar boʻlsa, yechimni topish mumkin. Aytaylik boshlangʻich shart qoʻyilgan boʻlsin. Berilgan nuqta uchun C miqdorning qiymatini aniqlaymiz
   

, u holda berilgan boshlangʻich shartlarda xususiy yechim koʻrinishdagi OX oʻqiga urinib oʻtadigan parabolalar oilasini tashkil qiladi. Integral egri chiziqlar toʻplamini qurishni parabolanni OX oʻqi boʻyicha parallel koʻchirish deb tasavvur qilsak boʻladi.

4. 
   Olingan natijalardan koʻrinadiki, nuqtalarda tenglama yechimi yagonaligi buzilayapti. Ushbu nuqtalardan ikkita integral chiziqlar oʻtayapti; y=0 toʻgʻri chiziq va parabola. Ushbu misol shunisi bilan qiziqki yechimning yagonaligi y=0 yechimning har bir nuqtasida buzilayapti. Bunday holda y=0 yechim maxsus yechim ham deyiladi