1-mavzu 1-ma’ruza

1-teorema. Agar ketma-ketlik cheksiz katta va bo‘lsa, u holda ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘ladi, va aksincha cheksiz kichik va bo‘lsa, cheksiz katta bo‘ladi.
Isboti. cheksiz katta ketma-ketlik bo‘lsin. son olamiz va deymiz. 6-ta’rifga ko‘ra bu soni uchun shunday nomer topiladiki, uchun tengsizlik bajariladi. Bundan uchun kelib chiqadi. Bu esa ketma-ketlikning cheksiz kichik bo‘lishini bildiradi. Teoremaning ikkinchi qismi shu kabi isbotlanadi.
Cheksiz kichik ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega.
1-xossa. Ikkita (chekli sondagi) cheksiz kichik ketma-ketlikning algebraik yig’indisi cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
2-xossa. Ikkita (chekli sondagi) cheksiz kichik ketma-ketlikning ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
3-xossa. Cheksiz kichik ketma-ketlikning chegaralangan ketma-ketlikka ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi.
4-xossa. Cheksiz kichik ketma-ketlikning chekli songa ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi.
Xossalardan birini isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.
3-xossaning isboti. chegaralangan ketma-ketlik, cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsin. ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘ishini isbotlash kerak.
ketma-ketlik chegaralangan. Shu sababli shunday son topiladiki, had uchun bo‘ladi.
son olamiz. cheksiz kichik bo‘lgani sababli son uchun shunday nomer topiladiki, uchun bo‘ladi. U holda da bo‘ladi.
Demak, cheksiz kichik ketma-ketlik.


3.1.3. Ketma-ketlikning limiti
8-ta’rif. Agar son uchun shunday nomer topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, o‘zgarmas songa ketma-ketlikning
limiti deyiladi va kabi yoziladi
Misol
bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun olamiz. Misolning shartidan topamiz:

tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning qiymatlarini topish uchun
tengsizlikni yechamiz:
nomer sifatida sonining butun qismini, ya’ni sonini olish mumkin. Bunda son olinganda ham uchun bo‘ladi. U holda ketma-ketlik limitining ta’rifiga asosan
.
Ma’lumki, tengsizlik had nuqtaning atrofiga tushishni bildiradi.
S hu sababli ketma-ketlikning limiti ta’rifini quyidagicha talqin qilish mumkin: agar bo‘lsa, u holda nuqtaning istalgan atrofi uchun shunday nomer topiladiki, no-merli barcha nuqtalar nuqtaning atrofiga, ya’ni intervalda yotadi va bu intervaldan tashqarida berilgan ketma-ketlikning chekli sondagi nuqtalari joylashishi mumkin (3-shakl). Bu jumla ketma-ketlik limitining
geometrik ma’nosini anglatadi.