1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

3.5-teorema. Har qanday o’tkir burchakning bir vaqtda bir tomoniga perpendikulyar bo’lib, ikkinchi tomoniga parallel to’g’ri chiziq mavjud.

Bu teorema boshqacha quyidagicha ifodalanadi:

Har qanday o’tkir burchak parallellik burchagi bo’la oladi.
Nazorat savollari

1. Gilbert aksiomasida asosiy obyektlarni ayting.

2. Bog’lanish aksiomlari haqida ma’lumot bering.

3. Tartib aksiomalari haqida ayting.

4. Gilbert aksiomalar sistemasiga kiradigan aksiomalarni tavsiflang.

5. Bir kesma ikkinchi kesmaga kongurent bo’lish shartini ayting.

6. Kongurentlik aksiomalaridan kelib chiquvchi teoremalarni ayting

7. Absoyut geometriya aksiomlariga qaysi aksiomalar kiradi?

8. Absolyut geometriya teoremlarini ayting.

9. Lobachevskiy tekisligining asosiy obyektlarini tavsiflang.

10. Lobachevskiy aksiomasini ayting.

11. Lobachevskiy aksiomasidan kelib chiqadigan asosiy teoralarga qaysi teoremalar kiradi?

12. Lobachevskiy tekisligida parallel to’g’ri chiziqlar xossalarini sharhlang.

13. Lobachevskiy geometriyasi qanday qismlarga boʻlinadi? Har bir qismga tavsif bering.

14. Parallel to’g’ri chiziqlar haqidagi teoremani tavsiflang.

15. Lobachevskiy tekisligida parallel to’g’ri chiziqlar haqidagi teoremalarni ayting.

16. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’lishini ko’rsating.

17. Teng boʻlgan tomonlar orasidagi burchaklari teng boʻlmagan ikki uchburchak haqidagi teoremani sharhlang

18. Lobachevskiy tekisligida har qanday to’rtburchak ichki burchaklari yig’indisi _{ } dan kichik bo’lib, bu son har xil to’rtburchaklar uchun har xildir. Bu teoremaning isbotini tavsiflang.

19. Evklidning V postulatini isbotlashga uringan olimlar ishlarini tavsiflang

20. Evklidning V postulatiga ekvivalent teoremalarni keltiring.

TESTLAR

1) Geometrik tushuncha haqidagi biror tasdiqni ifodalovchi jumlalar ikki kategoriyaga bo‘linadi.

a) Aksiomalar va teoremalar

b) Ta’riflar va aksiomalar

c) Ta’riflar va teoremalar

d) Asosiy tushunchalar va ta’riflar

2) Geometriyani deduktiv bayon qilish deganda, quyidagi jumlalar qanday tartibda bajarilishi kerak. a) teoremalar keltirilishi kerak b) barcha aksiomalar keltirilishi kerak c)teoremalar isbotlari keltirilishi kerak d)asosiy tushunchalar berilishi kerak

a) d) b) a ) c)

b) d) b) a )

c) d) b) c)

d) b) a ) c)

3) «Evklidning Negizlari»

a) 13 ta kitobdan iborat bulib, I-VI planimetriyaga, VII-IX arifmetikaga, X- o’zaro o‘lchanmaydigan kattaliklarga, XI-XIII stereometriyaga bag‘ishlangan.

b) 12 ta kitobdan iborat bo‘lib, har uchtadan kitoblari mos ravishda arifmetikaga, planimetriyaga, kattaliklarga, stereometriyaga bag‘ishlangan

c) 4 ta ta kitobdan iborat bo‘lib, I-III- sonlari nazariyasiga, IV va V - arifmetikaga, - VI- VII- planimetriyaga, XIII-X steoremetriyaga bag‘ishlangan.

d) 4 kitobdan iborat bo‘lib, I- kitob uchburchaklarga, II-aylanalarga, III-ko‘pburchaklarga, I V -arifmetika va sonlar nazariyasiga bag‘ishlangan.

4) Absolyut geometriya bu

a) Evklid geometriyasining 5- postulatga bog‘liq bo‘lmagan barcha tasdiqiy jumlalar

b) Evklid geometriyasidan iborat

c) Evklidning I-V postulatlari asosida isbot qilinadigan jumlalari

d) Lobachevskiy geometriyasidan iborat

5) V postulatga ekvivalent bo‘lgan Pleyfer aksiomasini aniqlang

a) To‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqta orqali unga parallel faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin

b) To‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqta orqali unga parallel kamida ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin

c) Har qanday chegaralangan kesmani cheksiz davom ettirish mumkin

d) Berilgan to‘g‘ri chiziqning istalgan nuqtasidan unga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin

6) Agar A va B nuqtalar berilgan bo'lib, AB to’g’ri chiziqda kamida bitta shunday C nuqta topiladiki, B nuqta A va C lar orasida yotadi, degan aksioma Gilbert aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Tartib

b) Kongruentlik

c) Uzluksizlik

d) ogliklik

7) Lobachevskiy geometriyasida quyidagi jumla o’rinli

a) O’xshash, o’zaro teng bo’lmagan uchburchaklar mavjud.

b) Uchburchak burchaklari yigindisi 2d dan katta

c) To’rtburchak burchaklari yigindisi 360° dan katta.

d) Barcha uchburchaklar uchun ichki burchaklarining yigindisi o’zgarmas bo’lib, o’zaro tengdir

8) Quyidagi asarlardan qaysi biri Umar Xayyomga tegishli.

a) Evklid kitobidagi qiyin postulatlarga kommentariylar, degan geometrik traktat.

b) Evklidning mashxur postulatini isboti haqidagi kitob.

c) Nasriddin Tusining geometrik asarlariga kommentariy keltirgan

d) Al Ma’munning astronomik jadvallari analiz qilgan

9) Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqning qanday dastalari mavjud:

a) Bitta nuqtada kesishuvchi to’g’ri chiziqlar datasi, biror to’g’ri chiziqqa biror yo’nalish buyicha parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar datasi, biror to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan uzoqlashuvchi to’g’ri chiziqlar dastasi.

b) Faqat berilgan to’g’ri chiziqqa parallel bulgan to’g’ri chiziqlar dastasi

c) Faqat bitta nuqtada kesishuvchi to’g’ri chiziqlar dastasi

d) Faqat berilgan to’g’ri chiziqqa parallel bulgan to’g’ri chiziqlar va bitta nuqtada kesishuvchi to’g’ri chiziqlar dastasi.

10) V- postulatga ekvivalent bo’lmagan jumlani toping.

a) Tekislikda to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu to’g’ri chiziqni kesib o’tmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq mavjud.

b) Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta orqali aylana utkazishi mumkin.

c) Agar to’g’ri chiziq parallel to’g’ri chiziqdan birini kesib o’tsa, u ikkinchisini ham kesib o’tadi.

d) Ikkita parallel to’g’ri chiziq orasidagi masofa o’zgarmasdir.

11) Aksiomalar sistemalariga qanday talablar qo’yilishi lozim:

a) O’zaro zid bo’lmaslik, bir-biriga bog’lanmagan va to’lalik

b) Faqat bir-biriga zid bo’lmaslik

c) Faqat to’lalik,

d) O’zaro zid bo’lmaslik, to’lalik, yetarlilik.

12) Lobachevskiy geometriyasida tekislikda berilgan to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu to’g’ri chiziqqa

a) Parallel ikkita to’g’ri chiziq, cheksiz ko’p o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin.

b) Cheksiz ko’p parallel to’g’ri chiziqlar va faqat ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin.

c) Ikkita parallel va ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin

d) Bitta parallel va ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin

13) Aksiomatik metodni moxiyati haqida quyidagilarning qaysi biri to‘g‘ri:

a) Asosiy tushunchalar va aksiomalarni tanlash ta’riflar kiritib, teoremalarni yuqoridagilarga asoslanib isbotlash

b) Faqat aksiomalarni to’plash

c) Teoremalarni isbotlash

d) Asosiy tushunchalarni to’plash, ta’riflarni kiritish

14) Lobachevskiy geometriyasida tekislikda berilgan to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu to’g’ri chiziqqa

a) Parallel ikkita to’g’ri chiziq, cheksiz ko’p o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin.

b) Cheksiz ko’p parallel to’g’ri chiziqlar va faqat ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin.

c) Ikkita parallel va ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin

d) Bitta parallel va ikkita o’ta parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazish mumkin

15) Gilpbert aksiomalari sistemasi ja’mi nechta aksiomadan iborat?

a) 20

b) 19

c) 18

d) 21

16) Lobachevskiyning paralellik aksiomasiga ko‘ra tekislikda a to‘g‘ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan a bilan kesishmaydigan nechta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin?

a) kamida 2 ta

b) o‘tkazib bo‘lmaydi

c) faqat 2 ta

d) faqat 1 ta

17) Lobachevskiy tekisligida to‘g‘ri chiziqlar dastasining necha turi mavjud

a) 3

b) 4

c) 2

d) 1

18) Lobachevskiy tekisligida markaziy dastada mos nuqtalar to‘plami qanday chiziqni tashkil etadi?

a) Aylanani

b) Oritsiklni

c) Ekvidistantatsi

d) Nuqtani

19) Lobachevskiy tekisligida parallel to‘g‘ri chiziqlar dastasining mos nuqtalari to‘plami qanday chiziqni hosil qiladi?

a) Oritsiklni

b) Ekvidistanni

c) Aylanani

d) to‘g‘ri chiziqni

20) Lobachevskiy tekisligida uzoqlashuvchi to‘g‘ri chiziqlar dastasining mos nuqtalari to‘plami qanday chiziqni tashkil qiladi?

a) Ekvidistantani

b) Aylanani

c) To‘g‘ri chiziqni

d) Oritsiklni
21) Quyidagilardan qaysi biri uchburchak yuzi uchun to‘g‘ri?

a) ∆=(π-(A+B+C))

b) ∆=(π+(A+B+C))

c) ∆=(π(A+B+C))

d) ∆=k^2

22) Lobachevskiy geometriyasida uchburchak yuzi uchun quyidagilardan qaysi biri to‘g‘ri. Uchburchak burchaklari yig‘indisi kichiklashsa:

a) yuzi kattalashadi

b) yuzi o‘zgarmaydi

c) yuzi kichiklashadi

d) yuziga tasir etmaydi

23) Aksiomalar sistemasining ziddiyatsizligi qanday aniqlanadi?

a) interpretatsiyasini (modelini) ko‘rsatish bilan

b) erkinligini ko‘rsatish bilan

c) to‘laligi bilan

d) aksiomalarni kamaytirish bilan

24) Sakkeri, Lambert va Lejandrlar beshinchi postulatni isbotlashda qanday ish olib boradilar

a) Beshinchi postulat inkorini olib, uni zidlikka uchratish yo’li asosida ish olib bordilar

b) Sakkeri, Lambert va Lejandrlar noevklidiy geometriyaning yaratilishiga ilk qadam qo’yiladi

c) Sakkeri, Lambert va Lejandrlar beshinchi postulat isbotlaydi

d) Beshinchi postulat isbotlashda xatoliklarga yo'l qo'ygan, noevklidiy geometriyaning yaratilishiga ilk qadam qo’yiladi

25) Elliptik dasta uchun nuqtalar to'plami…. deb ataladi

a) Aylana

b) oritsikl chiziq

c) ekvdistant chiziq

d) aylana ekvdistant chiziq

26) Parabolik dasta uchun nuqtalar to'plami…. deb ataladi

a) oritsikl chiziq

b) Aylana

c) aylana ekvdistant chiziq

d) ekvdistant chiziq

27) Giperbolik dasta uchun nuqtalar to'plami…. deb ataladi

a) ekvdistant chiziq

b) oritsikl chiziq

c) Aylana

d) aylana ekvdistant chiziq

28) Quyidagi berilgan asosiy munosabatlardan qaysilari D. Gilbertga tegishli

a) “Tegishli”, “Orasida”, “Kongruentlik”

b) “vektorlarni qo’shish”, “vektorlarni songa ko’paytirish”, “vektorni skalyar ko’paytirish”, “vektorni nuqtadan boshlab qo’yish”

c) “Tegishli” (yoki “….da yotadi”), “orasida yotadi”

d) “Tegishli” , “Kongruentlik”

29) Quyidagi berilgan asosiy munosabatlardan qaysilari G. Veylga tegishli

a) “vektorlarni qo’shish”, “vektorlarni songa ko’paytirish”, “vektorni skalyar ko’paytirish”, “vektorni nuqtadan boshlab qo’yish”

b) “Tegishli” (yoki “….da yotadi”), “orasida yotadi”

c) “Tegishli” (yoki “….da yotadi”), “orasida yotadi”, “Kongruentlik”

d) “Tegishli”, “Kongruentlik”

30) Quyidagi berilgan asosiy munosabatlardan qaysilari G. Veylga tegishli

a) “Tegishli” (yoki “….da yotadi”), “orasida yotadi”

b) “vektorlarni qo’shish”, “vektorlarni songa ko’paytirish”, “vektorni skalyar ko’paytirish”, “vektorni nuqtadan boshlab qo’yish”

c) “Tegishli”, “Orasida”, “Kongruentlik”

d) “Tegishli” (yoki “….da yotadi”), “orasida yotadi”, “Kongruentlik”

31) Quyidagi berilgan asosiy tushunchalardan qaysilari D. Gilbertga tegishli

a) Nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik

b) Vektor, Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

c) Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik va uzunlik

d) Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

32) Quyidagi berilgan asosiy tushunchalardan qaysilari Pogorelovga tegishli

a) Nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

b) Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik va uzunlik

c) Vektor, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

d) Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik

- Uchburchak, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

33) Quyidagi berilgan asosiy tushunchalardan qaysilari G. Veylga tegishli

a) Vektor, nuqta

b) Vektor, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik

c) Nuqta,to’g’ri chiziq tekislik va uzunlik

d) Nuqta, to’g’ri chiziq tekislik, uzunlik, burchakning gradus o’lchovi

34) Yevklidning “Negizlari” asarining beshinchi kitobida

a) proportsiyalar nazariyasiga bag`ishlangan

b) aylanaga ichki va tashqi chizilgan ko`pburchaklar

c) aylanaga bag`ishlanadi

d) arifmetika va sonlar nazariyasiga bag`ishlanadi

35) Yevklid «Negizlarining» kamchiliklarini ayting

a) Ortiqcha ta’riflar bor, ta’riflanmaydigan jumlalardan foydalangan, ayonlik va ravshanlikka asoslangan va ba'zi aksiomalar yetishmaydi

b) Ortiqcha ta’riflar bor, ayonlik va ravshanlikka asoslangan

c) Ta’riflanmaydigan jumlalar bor

d) Ta’riflanmaydigan jumlalardan foydalangan

36) To’g’ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan o’tib, berilgan to’g’ri chiziq bilan kesihmaydigan to’g’ri chiziq bittadan ortiq emas, degan aksioma Gilbert aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Parallelik

b) Kongruentlik

c) Uzluksizlik

d) Tartib

37) To’g’ri chiziqda hech bo’lmaganda ikkita nuqta mavjud, degan aksioma Gilbert aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Tegishlilik

b) Parallelik

c) Kongruentlik

d) Uzluksizlik

38) Umumiy nuqtaga ega bo’lgan ikki tekislik bu nuqtadan farqli kamida yana bitta umumiy nuqtaga ega bo’ladi, degan aksioma Gilbert aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Tegishlilik

b) Parallelik

c) Kongruentlik

d) Uzluksizlik

39) To’g’ri chiziqning har qanday uchta nuqtasidan bittadan ortig’i qolgan ikkitasi orasida yotmaydi, degan aksioma Gilbert aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Tartib

b) Parallelik

c) Kongruentlik

d) Uzluksizlik

40) Agar ikkita turli to’g’ri chiziq umumiy nuqtaga ega bo’lsa ilar orqali bitta va faqat bitta tekislik o’tkazish mumkin, degan aksioma Pogorelov aksiomalarining qaysi guruhiga kiradi

a) Tegishlilik

b) Parallelik

c) Kongruentlik

d) Uzluksizlik