1-ma’ruza. Ko’p o’zgaruvchili funksiya. Aniqlanish sohasi, limiti va uzluksizligi reja

Ko’p o’zgaruvchili funksiya uzluksizligi

Oldingi kursda bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun bu tushunchalar ko’rib o’tilganidek, ko’p o’zgaruvchili funksiyalar uchun ham xuddi shu belgilashlar kabi bu tushunchalarni kiritamiz. Faqatgina dagi absolyut qiymat belgisi yoki da norma belgisi bilan almashtiriladi.
Ta’rif 4.19. Agar olinganda ham shunday musbat son topilib, barcha uchun bo’lganda tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda nuqtada funksiya uzluksiz deb ataladi. Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya to’plamda uzluksiz deb ataladi.
Natija 4.20. funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi, faqat va faqat shu holdaki, agar shu nuqtada barcha kampanentalar uzluksiz bo’lsa.
Misol 4.21. i) funksiyani ko’rinishda aniqlaylik. Bu funksiya nuqtada uzluksiz bo’lishini isbotlang.
Yechish: Ma’lumki, uchun Eyler tengsizligi o’rinli. Bu tengsizlikdan foydalansak, u holda
.
Berilgan uchun deb tanlasak, u holda funksiya har bir nuqtada uzluksiz ekani kelib chiqadi.
ii) Yuqoridagi funksiyani desak, u holda bu akslantirish affin akslantirish bo’ladi, ya’ni deb qaraylik. Affin akslantirish har bir nuqtada uzluksiz, chunki Koshi-Shvars tengsizligiga ko’ra bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda trivial yechim bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda deb olsak, u holda funksiya uzluksiz bo’ladi.
Ta’rif 4.22. Agar olinganda ham shunday musbat son topilib, barcha uchun bo’lganda tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funksiya to’plamda tekis uzluksiz deb ataladi. Yuqorida ko’rib o’tilgan, affin akslantirish da tekis uzluksiz bo’ladi.