1-ma’ruza. Ko’p o’zgaruvchili funksiya. Aniqlanish sohasi, limiti va uzluksizligi reja

Kontor teoremasi. Agar to’plam chegaralangan va yopiq (ya’ni kampakt) da uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi.
i)Agar funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya ham da aniqlangan va uzluksiz bo’ladi. Misol uchun: funksiya to’plamda uzluksiz; funksiya esa da uzluksiz bo’ladi.
ii) Agar da va funksiyalar uzluksiz bo’lsa, u holda , funksiyalar ham da uzluksiz bo’ladi; agar bo’lsa, u holda ning biror qism to’plamida ham uzluksiz bo’ladi. Misol uchun: funksiya da uzluksiz; funksiya da uzluksiz; funksiya da uzluksiz bo’ladi.
iii) Agar funksiya da uzluksiz va da uzluksiz bo’lsa, u holda akslantirishlar kampazitsiyasi da uzluksiz bo’ladi.
Misol uchun: funksiya da uzluksiz; funksiya da uzluksiz; funksiya da uzluksiz bo’ladi.
Natija 4.23. va funksiyalar hamda uchun shunday topilib buning uchun bo’lsin. Bundan tashqari uchun kampazitsiyani qaraylik. Agar funksiya nuqtada, esa nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz bo’ladi.

3. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiya limiti
   

Ta’rif 4.24. Agar Agar olinganda ham shunday musbat son topilib, barcha uchun bo’lganda tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda da songa funksiyaning limiti deb ataladi va kabi belgilanadi.
Agar funksiya nuqtada aniqlangan bo’lsa, u holda funksiya nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.
i) funksiya da aniqlangan va bu to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Haqiqatan, , chunki
va limit ta’rifiga ko’ra agar bo’lsa, u holda , bu yerda .
ii) Keling endi, ekanligini ko’rib chiqaylik.
dan ga ko’ra
va agar deb oladigan bo’lsak, u holda limit ta’rifidan ga ko’ra bo’ladi.
Natija 4.28. Faraz qilaylik, shunday son mavjud bo’lib va funksiya shunday o’zgaruvchiga bog’liq bo’lib, nuqtaning atrofida
va bo’lsin. U holda
bo’ladi.