1-ma’ruza. Ko’p o’zgaruvchili funksiya. Aniqlanish sohasi, limiti va uzluksizligi reja

1-MA’RUZA. KO’P O’ZGARUVCHILI FUNKSIYA. ANIQLANISH SOHASI, LIMITI VA UZLUKSIZLIGI
REJA

1. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha
   
2. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiya uzluksizligi
   
3. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiya limiti
   

Tayanch so’zlar: funksiya, uzluksizlik, limit, nuqta atrofi, sath chiziq, sath sirt, aniqlanish soha, qiymatlar soha.

1. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha
   

Dastlab biz haqiqiy qiymatli funksiyalar bilan shug’ullanamiz. Ba’zan bunday funksiyalarni skalyar (haqiqiy) funksiyalar ham deymiz. natural son berilgan bo’lsin. da berilgan funksiya ta haqiqiy o’zgaruvchini ga mos qo’ysin, ya’ni . Funksiyaning argument o’zgaruvchisi qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlar to’plamiga funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va orqali belgilanadi.
to’plamga funksiyaning grafigi deyiladi. Ma’lumki, da bir o’zgaruvchili, yoki bo’lsa, u holda o’zgaruvchini mos ravishda yoki kabi yozamiz.
Misol 4.17. i) funksiya da aniqlangan bo’lib, uning grafigi tekislikni tashkil etadi.
ii) funksiya esa ning to’g’ri chiziqlarni qanoatlantirmaydigan nuqtalarida aniqlangan.
iii) funksiya to’plamda aniqlangan bo’lib, bu to’plam elliptik parabaloid va ichki qismidan tashkil topgan.
iv) funksiya esa o’lchavli sfera ichida aniqlangan bo’lib, bu to’plam qisqacha deb yoziladi.
Xususan, bo’lganda bu funksiyaning grafigini chiza olamiz. Masalan, deb olsak, uning dagi grafigi quyidagi 4.8 rasmda berilgan. deb olsak, u holda bundan va bo’ladi. Bu esa markazi koordinatalar boshida va radiusi bo’lgan yarim sferaning grafigini ifodalaydi.

4.8.-rasm. funksiya grafigi
Ikki yoki uch o’zgaruvchili funksiyalarga turli xil qiymatlar berish yordamida funksiyaning level to’plamini hosil qilamiz. Berilgan uchun funksiyaning qiymatini shu o’zgarmas songa tenglab to’plamga funksiyaning level to’plami deb ataladi.
Endi bu nazariyani geometrik jihatdan talqin qilaylik. bo’lganda tekislikdagi level to’plam tekislik va funksiyaning grafigilari kesishmasidan iborat. Ravshanki, level to’plam bo’sh to’plam bo’lmaydi, faqat va faqat shu holdaki, bo’lsa, bu yerda to’plam funksiyaning qiymatlar to’plami.
Shunday qilib, to’plam funksiya ikki yoki uch o’lchamli bo’lganda mos ravishda egri chiziq yoki sirtdan tashkil topadi. Masalan, umumiyroq holda, ya’ni natural sonlar berilganda Evklid fazosidagi funksiyalarni qaraylik. orqali ni ga mos qo’yuvchi ixtiyoriy funksiyani belgilaylik, ya’ni . Agar bo’lsa, yuqoridagi skalyar funksiyaga ega bo’lamiz. Agar bo’lsa, u holda ni skalyar vektor-qiymatli funksiya deymiz. (tekislikdagi egri chiziqlar) va (sirtdagi egri chiziqlar) uchun maxsus vektor qiymatli funksiyalarni ko’raylik, bunda . Agar va bo’lsa fazodagi vektror qiymatli funksiyalar sirtlarni ko’ramiz. Agar bo’lsa, u holda funksiya vektor maydon deyiladi. Masalan, bo’lganda yerning gravitatsion maydoni hosil bo’ladi. bo’lsin. ning kampanentalarini ning kanonik bazislar bilan bog’laymiz, ya’ni

funksiya kampanentalari aniqlanish saholarining kesishmalarini bo’lsin desak, u holda har bir ham da aniqlangan.

2.