1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

TEOREMA 1.Agar lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.

TEOREMA 2. Agar va lar (1) sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda lar ham (1) sistemaning yechimlari bo’ladi.

Faraz etaylik (1) sistemaning xususiy yechimlari

(2)

bo’lsin.

Agar bu xususiy yechimlardan tuzilgan

(3)

determinant nolga teng bo’lmasa, (2) yechimlar sistemasiga, (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi (fes) deyiladi.

TEOREMA 3. Agar berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz bo’lsalar, bu holda sistemaning bu oraliqda aniqlangan fundamental yechimlar sistemasi mavjuddir.

ISBOT. sonlaridann² tasini shunday tanlab olamizki, ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmasin, ya’ni

(4)

(1) sistemaning n² ta xususiy yechimlarining shunday tanlab olamizkim, ular da boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin. Xususiy yechimlar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardan iborat. (4) ga asosan ulardan tuzilgan determinant nolga teng bo’lmagani uchun, bu xususiy yechimlar (1) sistemasining fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.

TEOREMA 4. Agar ko’rilayotgan oraliqning biror x₀nuqtasida bo’lmasa, u holda oraliqning hamma nuqtalarida bulmaydi .

ISBOT.Teoremani isboti uchun (3) determinantning ustun elementlari bo’yicha hosilani olamiz.

Ma’lumki n-tartibli determinantning hosilasi n–ta n-tartibli determinantlar yig’indisiga teng bo’lib, ularning birinchisida faqat birinchi ustun elementlarining hosilasi olinib, qolgan elementlar uz holiga qoladi, ikkinchi determinantida ikkinchi ustun elementlarining hosilasi olinib, qolgan elementlar uz holiga qoladi va xokazo, ya’ni

bundagi lar o’rniga (1) sistemadan

qiymatlarni keltirib qo’ysak,

bu oxirgi determinant bo’lmaganda u nolga teng bo’lib, i=j bo’lganda ga teng bo’ladi.

Bundan

buni har ikkala tomonini [x₀,x] oraliqda integrallasak

yoki

(5)

Bundan ko’rinadikim, agar bo’lmasa, u holda bo’lmaydi.

(5) ga sistema uchun Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deyiladi.

TEOREMA 5. Agar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lsa, u holda (1) sistemaning umumiy yechimi

dan iborat.

ISBOT. 1 va 2 teoremalarga asosan (6), (1) sistemaning yechimi bo’ladi. Uning umumiy yechim ekanligini ko’rsatish uchun undagi o’zgarmaslarni -c_k shundayaniqlab olish mumkin bo’lsakim x=x₀ bo’lganda (7) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin bo’lsin ixtiyoriy son.

(7) ni (6) ga olib borib qo’ysak c_k ga nisbatan n-ta birjinsli bo’lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.

(8)

Bu sistemaning asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lib, u nolga teng bo’lmaydi. Chunki shartga asosan lar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan iborat.

Shuning uchun (8) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi larning bu qiymatlarini (6) ga olib borib qo’ysak boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi (1) sistemaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.

Misol_-1.'>Misol-1. Agar fundamental yechimlar sistemasi berilgan bo’lsa, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini toping.

Faraz etaylik izlanayotgan tenglama

(9)

bo’lsin.

Bunda lar aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiyalar.

Fundamental yechimlar sistemasidan chisini (9) tenglamaga qo’ysak

(10)

ayniyatiga ega bo’lamiz. Bu esa larga nisbatan noma’lumli ta tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistemaninig asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lgani uchun; undan lar bir qiymatli aniqlanadi. Bu topilgan -larni (9) tenglama qo’ysak izlangan tenglamaga ega bo’lamiz.

Buni determinant shaklida ham yozish mumkin



Misol-2y₁₁=x+1 z₁₂=x

y₂₁=2 z₂₂=x

ikki noma’lumli y, z tenglamalarning fundamental yechimlar sistemasi berilgan bo’lsa, tenglamani uzini aniqlash.

y_ij j-noma’lum funksiya, i-yechimi