1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

Sistema uchun o’zgarmaslarni variasiyalash metodi

(Lagranj metodi).
TEOREMA. Agar (1) sistemaga mos bo’lgan (2) bir jinsli chiziqli differensial tenglama sistemani umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, (1) sistemaning umumiy yechimi kvadratura yordamida aniqlanadi.

ISBOT. Faraz etaylik (2) sistemaning umumiy yechimi

(5)

bo’lsin. Bunda c_k ni x ning funksiyasi deb c_k(x) larni aniqlash uchun (5) ni (1) ga olib borib qo’yamiz:

yoki

(6)

lar (2) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lgani uchun kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo’ladi u holda (6) dan bu esa larga nisbatan noma’lumli  - ta bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasidan iborat bo’lib, uning asos determinanti bo’lmagani uchun (7) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi, ya’ni

bunda Vronskiy determinantining , elementining algebraik tuldiruvchisidir.

Keyingi tenglikning dan oralig’ida integrallasak

(8) .

ni (5) ga qo’ysak, (1) sistemaning umumiy yechimi

ga ega bo’lamiz. Bundagi birinchi summa (2) sistemaning umumiy yechimi bo’lib, ikkinchi summa esa (1) sistemaning xususiy yechimidir.

Misol_-1____Yechish'>Misol-1



Yechish: Berilgan sistemaga mos bir jinsli sistema tuzib olamiz

Bu sistemaga Eyler usulini qo’llaymiz

ko’rinishdagi xususiy yechimni izlaymiz:

Bu ifodani (*) ga qo’yamiz:

Bu sistemaga mos harakteristik tenglama tuzamiz:

harakteristik tenglama





uchun α , β larni izlaymiz:





xususiy yechim.

uchun α , β larni izlaymiz:





xususiy yechim.

Demak mos bir jinsli sistemaning umumiy yechim ko’rinishi quyidagicha:

Endi bundan sistemaning umumiy yechimini topamiz:

Buning uchun mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan foydalanamiz:

Bunga varriatsialash usulini qo’llaymiz:

deb olamiz. Bundan

endi hosilalarini olamiz:

Demak

Bu sistemadan va larni topamiz.

Integrallaymiz:

va larni (**) ga olib borib qo’yamiz.

Bu berilgan sistemaning umumiy yechimi.

Misol-2

Bunga mos bo’lgan bir jinsli tenglamani tuzamiz.

buning umumiy yechimini topamiz.

(9)

(7) sistemani tuzamiz.

Endi bularni integrallaymiz.

shu formulaga asosan

va larni (9) ga olib borib qo’ysak

berilgan tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz.