1-лоборатория иши

3-лаборотория
Мавзу: Шартли эхтимоллик. Боғлиқ ҳодисалар. Биргаликда бўлган ҳодисалар. Тўла эхтимол ва Бейес формуласидан фойдаланиб ҳодисаларнинг рўй бериш эҳтимолини топиш.

Фараз қилайлик, ҳодиса тўла группа ташкил этувчи биргаликда бўлмаган ҳодисалардан биттасининг рўй берганлик шартида рўй берсин. Бу ҳодисаларнинг эхтимоллари ва ҳодисанинг шартли эхтимоллари маълум бўлсин. ҳодисанинг эхтимолини қандай топиш мумкин? Бу саволга қуйидаги теорема жавоб беради.

Теорема. Тўла группа ташкил этувчи биргаликда бўлмаган ҳодисалардан биттасининг рўй берганлик шартидагина рўй берадиган ҳодисанинг эхтимоли шу ҳодисалардан ҳар бирининг эхтимолини ҳодисанинг мос шартли эхтимолига кўпайтмалари йиғиндисига тенг:





Исбот. Шартга кўра ҳодиса рўй бериши учун биргаликда бўлмаган ҳодисаларнинг биттаси рўй берган бўлиши керак. Бошқача қилиб айтганда, ҳодисанинг рўй бериши биргаликда бўлмаган ҳодисаларнинг қайси бири бўлса ҳам, биттасининг рўй беришини билдиради. А ҳодисанинг эхтимолини хисоблаш учун қўшиш теоремасидан фойдаланиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:


(8)

Ҳар бир қўшилувчини хисоблаш лозим. Боғлиқ ҳодисалар эҳтимолларини кўпайтириш формуласига асосан

... ... ... ... ... ...

Бу тенгликларнинг ўнг томонидаги ифодаларни (8) муносабатга қўйиб, тўла эхтимол формуласини ҳосил қиламиз:

.

Фараз килайлик, ҳодиса тўла группа ташкил этувчи биргаликда бўлмаган ҳодисалардан бири рўй бериш шартидагина рўй бериши мумкин бўлсин. Бу ҳодисаларнинг қайси бири рўй бериши аввалдан номаълум бўлгани сабабли улар гипотезалар дейилади. ҳодисанинг рўй бериш эхтимоли тўла эхтимол формуласига асосан аниқланади:

Фараз қилайлик, синаш ўтказилган бўлиб, унинг натижасида ҳодиса рўй берган бўлсин. Гипотезаларнинг эхтимоллари қандай ўзгарганлигини ( ҳодиса рўй берганлиги сабабли) аниқлаш масаласини қўяйлик. Бошқача айтганда.

шартли эхтимолларни излаймиз.
Аввал шартли эхтимолни топамиз. Кўпайтириш теоремасига асосан қуйидагини ҳосил қиламиз:

Бундан

Бу муносабатда ни (8) формулага асосан алмаштириб қуйидагини ҳосил қиламиз:

Қолган гипотезаларнинг шартли эҳтимолларини аниқлайдиган формулалар шунга ўхшаш келтириб чиқарилади, яъни ихтиёрий

гипотезанинг шартли эхтимоллари қуйидаги формула бўйича хисобланиши мумкин:

Ҳосил қилинган формулалар (уларни 1764 йилда келтириб чиқарган инглиз математиги номи билан) Бейес формулалари дейилади. Бу формулалар синаш натижасида ҳодиса рўй берганлиги маълум бўлгандан сўнг гипотезалар эҳтимолларини қайта бахолашга имкон беради.
5-мисол. Завод цехида тайёрланадиган деталлар уларнинг яроқлилигини текшириш учун икки назоратчидан бирига тушади. Деталнинг биринчи назоратчига тушиш эхтимоли 0,6 га тенг, иккинчисига тушиш эхтимоли 0,4 га тенг. Детални яроқли деб тан олиш эхтимоли 1-назоратчи учун 0,94 га, 2-учун 0,98 га тенг. Текшириш вақтида деталь яроқли деб қабул қилинди. Шу детални 1- назоратчи текширганлик эхтимолини топинг.
Ечиш. орқали деталнинг яроқли деб қабул қилинганлик ҳодисасини белгилаймиз. Икки хил тахмин қилишимиз мумкин:
1) детални 1- назоратчи текширган(В₁ гипотеза);
2) детални 2- назоратчи текширган(В₂ гипотеза);
Изланаётган эхтимолни, яъни детални 1- назоратчи текширганлиги эхтимолини Бейес форуласи бўйича топамиз:

Масала шартига кўра:
(деталнинг 1- назоратчига тушиш эхтимоли);
(деталнинг 2- назоратчига тушиш эхтимоли);
( 1- назоратчининг детални яроқли деб қабул қилиш эхтимоли);
( 2- назоратчининг детални яроқли деб қабул қилиш эхтимоли).
Изланаётган эхтимол:
Кўриниб турибдики, синашгача В₁ гипотезанинг эхтимоли 0,6 га тенг эди, синаш натижасида маълум бўлгандан сўнг эса шу гипотезанинг эхтимоли ўзгарди ва 0,59 га тенг бўлди. Шундай қилиб, Бейес формуласи қаралаётган гипотезанинг эхтимолини қайта бахолашга имкон беради.