1-laboratoriya ishi. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolliklari (ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari). Murakkab hodisa ehtimolliklari

Yechish
. 
5. 
Nishonga 20 ta o‘q uzilgan bo‘lib, ulardan 18 ta o‘q nishonga tekkanligi qayd 
qilingan (
A
hodisa). Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping. 
Yechish
. 
1-teorema.
Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisadan istalgan birining ro‘y berish 
ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
=
+
Natija
. Juft-juftibilan birgalikda bo‘lmagan bir nechta hodisalardan 
istalgan biriningro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga 
teng: 
1
2
1
2
(
...
)
( )
(
) ...
(
)
n
n
P A
A
A
P A
P A
P A
+
+ +
=
+
+ +
 
1-ta’rif.
Ikkita 
A
va 
B
hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu 
hodisalarning ehtimolliklari ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya‘ni 
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
=
, 
u holda ular bog‘liqmas(erkli)deyiladi. 
3
,
0
10
3
)
(
2
5
2
3
=
=
=
C
C
A
P
05
,
0
100
5
)
(
=
=
A
W
9
,
0
20
18
)
(
=
=
A
W

---

2-ta’rif.
Bir nechta birgalikda bo‘lgan hodisalar ixtiyoriy guruhining 
birgalikda ro‘y berish ehtimoli, bu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng 
bo‘lsa, ya‘ni 
1
2
1
2
(
...
)
(
) (
)... (
)
k
k
i
i
i
i
i
i
P A A
A
P A P A
P A
=
, 
u holda ular to‘plamiy bog‘liqmas(erkli) deyiladi. 
2-teorema.
Agar
( ) ( ) 0
P A P B

bo‘lsa,u holda ikkita hodisaning birgalikda 
ro‘y berish ehtimoli, ulardan birining ro‘y berish ehtimolini ikkinchisining 
birinchisi ro‘y berganligi sharti ostidagi shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga aytiladi, 
ya‘ni 
(
)
( )
( )
( )
( )
A
B
P AB
P A P B
P B P A
=
=
. 
Natija
. Bir nechta bog‘liq hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimoli, 
ulardan birining ehtimolini qolganlarining shartli ehtimollariga ko‘paytirilganiga 
teng bo‘lib, har bir keyingi hodisaning shartli ehtimoli oldingi hamma hodisalar 
birgalikda ro‘y berdi, degan faraz ostida hisoblanadi: 
1
1
2
1
1
2
1
2
...
(
...
)
(
)
(
)...
(
)
n
n
A
A A
A
n
P A A
A
P A P
A
P
A
−
=
.
3-teorema.
Ikkita birgalikda bo‘lmagan hodisalardan kamida bittasining ro‘y 
berish ehtimoli, bu hodisalarning ehtimollari yig‘indisidan ularning birgalikda ro‘y 
berish ehtimolini ayrilganiga teng:
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
.
 

---

Xususan,
A
va 
B
hodisalar bog‘liq bo‘lsa,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A
P
B
P
B
P
A
P
B
A
P
B
−
+
=
+
formuladan, aks holda
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P

−
+
=
+
formuladan foydalaniladi. 
4-teorema.
Birgalikda bog‘liq bo‘lmagan 
n
A
A
A
,..,
,
2
1
hodisalaridan kamida 
bittasining ro‘y berishidan iborat
A
hodisaning ehtimoli, 1dan 
n
A
A
A
,...,
,
2
1
qarama-qarshi hodisalar ehtimollari ko‘pytmasining ayrilganiga teng, ya’ni 
).
(
)...
(
)
(
1
)
(
2
1
n
A
P
A
P
A
P
A
P
−
=
6.Sehda bir necha stanok ishlaydi. Smena davomida bitta stanokni 
ta’mirlash talab etilishi ehtimoli 0,2 ga teng, ikkita staokni ta’mirlash talab etilishi 
ehtimoli 0,13 ga teng. Smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab 
etilishi ehtimoli esa 0,07 ga teng. Smena davomida stanoklarni ta’mirlash talab 
etilishi ehtimolini toping.
Yechish
.Quyidagi hodisalarni qaraymiz. 
A=
{smena davomida bitta stanokni ta’mirlash talab etiladi}; 
B=
{smena davomida ikkita stanokni ta’mirlash talab etiladi}; 
C=
{smena davomida ikkitadan ortiq stanokni ta’mirlash talab etiladi}.
A, B
va 
C
hodisalar o‘zaro birgalikda emas. Bizni qiziqtiradigan hodisa: 

---

)
(
C
B
A
+
+
– smena davomida hech bo‘lmaganda bitta stanokni ta’mirlash
zarur bo‘lishi hodisasining ehtimolini topamiz: 
.
4
,
0
07
,
0
13
,
0
2
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
=
+
+
=
+
+
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
 
7. 
Ikki ovchi bo‘riga qarata bittadan o‘q uzishdi. Birinchi ovchining bo‘riga 
tegizish ehtimoli 0,7 ga, ikkinchisiniki esa 0,8 ga teng. Hech bo‘lmaganda bitta 
o‘qning bo‘riga tegishi ehtimolini toping.