1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

16.birinchi tartibli to’la diffrensial tenglama.

17.integrallovchi ko’paytuvchi.integrallovchi ko’paytuvchini topish usullari. I
18.hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli diffrensial tenglamalar.1-tartibli n-darajali diffrensial tenglama bo’lgan hol. birinchi tartibli tenglama, umuman aytganda F(x, y, y')=0 (2) ko’rinishidagi hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamaga ega bo’lishi mumkin,shu bilan birga (2) ko’rinishdagi tenglamadan (1) ko’rinishdagi tenglamaga har doim ham o’tish mumkin bo’lavermaydi. Shunday bo’lishiga qaramay, (2) differensial tenglamani integrallash masalasini parameter kiritish yo’li bilan hosilaga nisbatan yechilgan tenglamani integrallash masalasiga keltirish mumkin. (2) tenglamaning ayrim xususiy hollarini qarab chiqamiz va ularni integrallash yo’llarini ko’rsatamiz.
1)n-darajali birinchi tartibli tenglama.Tenglamaning chap tomoni y' ga nisbatan butun ratsional funksiyadan iborat, ya’ni quyidagi ko’rinishga ega:
,
Bu yerda n-butun musbat son, , , ,…, lar x va y ning funksiyalari.Bu funksiyani y' ga nisbatan yecha olamiz deb faraz qilaylik.Bunda y' uchun, umumiy aytganda, n ta har xil ifoda hosil bo’ladi:
y'=f₁(x, y), y'=f₂(x, y), … , y'=f_n(x, y), (3)
Bu holda (2) tenglamani integrallash birinchi tartibli n ta (1) tenglamani integrallashga keltirildi.Ularning umumiy integrallari mos ravishda quyidagilar bo’lsin:Ф₁(x, y, c₁)=0, Ф₂(x, y, c₂)=0, … , Ф_n(x, y, c_n)=0. (4)
(4) integrallarning chap tomonlarini o’zaro ko’paytirib,nolga tenglaymiz:
Ф₁(x, y, c₁) Ф₂(x, y, c₂) … Ф_n(x, y, c_n)=0. (5)
Agar (5) tenglamani y ga nisbatan yechadigan bo’lsak,(2) tenglamaning yechimini hosil qilamiz.Haqiqatan ham,(5) tenglamaning har qanday yechimi (4) tenglamalarning birini,(1) tenglamalarning birortasini va shunday qilib,(2) tenglama –(1) tenglamalarga yoyilgani uchun uni ham qanoatlantiradi.Umumiylikka ziyon keltirmasdan,(5) dagi barcha c₁,c₂, … ,c_n o’zgarmaslarni bitta c bilan almashtirish va tenglamani Ф₁(x, y, c) Ф₂(x, y, c) … Ф_n(x, y, c)=0 (6)
ko’rinishda yozish mumkin,bu (2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.Bunga ishonch hosil qilish uchun (6) tenglamaning n ta tenglamaga ajralishini ko’rish mumkin: Ф₁(x, y, c)=0, Ф₂(x, y, c)=0, … ,Ф_n(x, y, c)=0, (7) bu yerda c-istalgan qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy o’zgarmas,shu sababli (4) tenglamadan hosil qilinadigan barcha yechimlar (7) tenglamadan hosil qilinadigan yechimlar orasida bo’ladi.
19.hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli diffrensial tenglamalar,mavjudlilik va yagonalik teoremasi (x, y, )=0 (2) ko’rinishidagi tenglama berilgan bo’lsin.Ushbu tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi uchun ushbu teorema o’rinli.
Teorema: F(x, y, )=0 (2) tenglamaning y=y(x) yechimi shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun y(x₀)=y₀ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud agar quyidagi shartlar bajarilsa.
1. F(x, y, ) funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz funksiya.
2. xususiy hosila mavjud va noldan farqli.
3. xususiy hosila chegaralangan
Misol:
Buni yechish uchun avvalo kabi belgilash kiritib olamiz bundan esa dy=shtdx ni olamiz va kiritilgan belgilashni ifodadagi ning o’rniga keltirib qo’yamiz: . Demak xcht=sht bo’lar ekan. Endi x= tenglikning ikkala tomonini differensiallaymiz: . dy=shtdx tenglikdan dx ni topib yuqoridagi tenglamaga eltib qo’yamiz: .Biz bilamizki , bundan esa bo’ladi.Endi sht ni differensial ichiga kiritamiz: .Bundan y ni osongina topa olamiz va quyidagi natijaga kelamiz:

Isbot.
Oshkormas funksiya mavjudligi haqidagi teoremaga asosan 1-va 2- shartlar F(x, y, )=0 (2) tenglamadan ni oshkor ko’rinishda ( =f(x, y) ) aniqlash imkonini beradi.U vaqtda hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi masalasiga kelamiz.f(x, y) funksiyamiz y o’zgaruvchi bo’yicha Libshits shartini qanoatlantiradi.Bundan tashqari ushbu funksiya quyidagi shartni ham qanoatlantiradi: .Ushbu tengsizlik (x₀, y₀) nuqtaning ixtiyoriy atrofida bajariladi.Bu shartda esa =f(x, y) tenglama yechimining mavjudligi uchun yetarli shart. F(x, y, )=0 (2) tenglamani y o’zgaruvchi bo’yicha differensiallaymiz va bunda =f(x, y) ekanligini inobatga olamiz va tenglikni hosil qilamiz.Bundan bo’ladi, bunda ekanligi ma’lum bo’lsa dan ni hosil qilamiz.
bo’lsa bo’ladi.Bundan kelib chiqadiki F(x, y, )=0 (2) chap tomonidagi funksiya ga nisbatan olingan hosilasi emas balki y bo’yicha olingan hosilasi ham chegaralangan degan xulosaga kelamiz.Demak

qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona.
₂₀-22.to’liq bo’lmagan differinsial tenglamalar Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
F(x,y, )=0 (3.6)

Agar bu tenglamani y’ ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda bir yoki bir necha tenglama hosil bo’ladi.
=f(x,y) (i=1,2...)
Bu tenglamalarni integrallab, (3.6) tenglama yechimlarini hosil qilamiz.
Lekin (3.6) tenglamani har doim ga nisbatan oson yechilmaydi va ga nisbatan tenglamalar sodda integrallanmasligi mumkin. Shuning uchun (3.6) tenglamani boshqa usullarda integrallash qulay bo’ladi. Quyidagi hollarni qaraymiz.

1. 
   F( )=0, bunda hech bo’lmaganda tenglamaning bitta =k_i yechimi mavjud bo’lsin. Tenglama x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmaganligi sababli, k_i=const. y’=k_i ni integrallab y=k_ix+C yoki k_i=(y-C)/x. k_i berilgan tenglama yechimi ekanligidan
   

F((y-C)/x)=0
qaralayotgan tenglama yechimi bo’ladi.
Misol ( )⁷ - ( )⁵+ +3=0 tenglama integrali
((y-C)/x)⁷-((y-C)/x)⁵+(y-C)/x+3=0