1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi.

– ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz.

11.bernulli tenglamasi Bernulli differensial tenglamasi deb,

koʻrinishdagi differensial tenglamaga aytiladi.
Koʻrinib turibtiki Bernulli differensial tenglamasi tuzilishi boʻyicha chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani eslatayapti. Differensial tenglama Bernulli differensial tenglamasi ekanligini aniqlash uchun oʻng tomonda y ning a-darajasi qatnashganligidir.


koʻrinishdagi differensial tenglamalarga keladi, ularni qanday qilib yechishni esa koʻrib chiqdik.
y ning darajasidagi a –musbat ham (a>0), manfiy ham (a<0), kasr son ham boʻlishi mumkin.
Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin:




Muhimi y ning birdan farqli darajasi qatnashsa boʻlgani. a>0 boʻlganda y=0 yechim Bernulli tenglamasining xususiy yechimi boʻladi.

12.rikatti tenglamasi va uning asosiy xossalari. 1-ta’rif. Ushbu
(2.1)
Ko’rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, P(x) va Q(x) lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son Ravshanki agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan
birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi,bu tenglamani I-bobda o’rgangan edik.
Agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan
yoki
tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.
Demak, (2.1) differensial tenglamasida bo’lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Endi deb faraz qilamiz.
1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa u holda sohaning ixtiyoriy olingan (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’i o’tadi.
Isboti. (2.1) tenglamadan

va bo’lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo’ladi.
13.rikatti tenglamasining yechimlarining xossalari. 2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
(2.18) ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:


bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra
(2.19) almashtirish bajarsak:

(2.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
(2.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi
14.chebishev tenglamasi.
15.bessel tenglamasi
Ko’rinishdagi tenglama Bessel tenglamasi deyiladi. Bu yerda ixtiyoriy son. Bu tenglama da elementar funksiyalar yordamida integrallanadi. Bu holda tenglama
(1)
Ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamaga

Almashtirish qo’llaymiz, buning uchun hosilalarni hisoblaymiz
(2)
(2) ni (1) ga qo’yamiz

Soddalashtirishdan so’ng

Ko’rinishdagi o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamani hosil qilamiz Bu tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi va umumiy yechimi eski izlanuvchi funksiyaga qaytib da Bessel tenglamasini

Ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.