1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

3 - m i s o l . yarimkubik parabolalar oilasining o’ramasini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani S parametr bo’yicha differentsiallaymiz:
.
Bundan S ni topib, oila tenglamasiga qo’ysak:
bo’ladi. Bu o’qining tenglamasi. Uni o’ramani yoki statsionar nuqtalarning geometrik o’rni ekanligiga ishonch hosil qilish uchun berilgan oilaning statsionar nuqtalarini topaylik. Buning uchun berilgan tenglamani va bo’yicha differensiallaylik:

Bundan , ekanligikelibchiqadi. Sgaharxilqiymatlarbersak, statsionarnuqtalar o’qini to’lg’izadi, ya’ni o’qi statsionar nuqtalarning geometrik o’rni ekan (124-rasmga qarang).



3.hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasiningyechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Bizga F(x, y, )=0 (2) ko’rinishidagi tenglama berilgan bo’lsin.Ushbu tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi uchun ushbu teorema o’rinli.
Teorema: F(x, y, )=0 (2) tenglamaning y=y(x) yechimi shartni qanoatlantiruvchi x lar uchun y(x₀)=y₀ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud agar quyidagi shartlar bajarilsa.
1. F(x, y, ) funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz funksiya.
2. xususiy hosila mavjud va noldan farqli.
3. xususiy hosila chegaralangan
Misol:
Buni yechish uchun avvalo kabi belgilash kiritib olamiz bundan esa dy=shtdx ni olamiz va kiritilgan belgilashni ifodadagi ning o’rniga keltirib qo’yamiz: . Demak xcht=sht bo’lar ekan. Endi x= tenglikning ikkala tomonini differensiallaymiz: . dy=shtdx tenglikdan dx ni topib yuqoridagi tenglamaga eltib qo’yamiz: .Biz bilamizki , bundan esa bo’ladi.Endi sht ni differensial ichiga kiritamiz: .Bundan y ni osongina topa olamiz va quyidagi natijaga kelamiz:

Isbot.
Oshkormas funksiya mavjudligi haqidagi teoremaga asosan 1-va 2- shartlar F(x, y, )=0 (2) tenglamadan ni oshkor ko’rinishda ( =f(x, y) ) aniqlash imkonini beradi.U vaqtda hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi masalasiga kelamiz.f(x, y) funksiyamiz y o’zgaruvchi bo’yicha Libshits shartini qanoatlantiradi.Bundan tashqari ushbu funksiya quyidagi shartni ham qanoatlantiradi: .Ushbu tengsizlik (x₀, y₀) nuqtaning ixtiyoriy atrofida bajariladi.Bu shartda esa =f(x, y) tenglama yechimining mavjudligi uchun yetarli shart. F(x, y, )=0 (2) tenglamani y o’zgaruvchi bo’yicha differensiallaymiz va bunda =f(x, y) ekanligini inobatga olamiz va tenglikni hosil qilamiz.Bundan bo’ladi, bunda ekanligi ma’lum bo’lsa dan ni hosil qilamiz.
bo’lsa bo’ladi.Bundan kelib chiqadiki F(x, y, )=0 (2) chap tomonidagi funksiya ga nisbatan olingan hosilasi emas balki y bo’yicha olingan hosilasi ham chegaralangan degan xulosaga kelamiz.Demak

qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona.