1. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar,yechim tushunchasi,xususiy va umumiy yechim,integral chiziq,koshi masalasi

4.o’zgaruvchilari tenglamalar. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Ushbu M(x)dxQN(u)duq0 ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o’ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog’liq ko’paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog’liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning yechimi uni hadma-had integrallash yo’li bilan aniqlanadi:

 M(x)dx  N(y)dyC
Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan yechimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi S ni yechim uchun qulay ko’rinishda tanlash mumkin.
Tahrif.
y' q ₁(x)₂(y) (1)
ko’rinishdagi tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu yerda ₁(x) va ₂(y) uzluksiz funksiyalar.
(1) tenglamani yechish uchun unda o’zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1) da uni o’rniga dy/dx ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ₂(y) 0 ga bo’lamiz va dx ga ko’paytiramiz. U o’olda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada x o’zgaruvchi faqat o’ng tomonda, u o’zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o’zgaruvchilar ajratildi. (2) tenglikni har ikki tomonini integrallab,

ekanligini hosil qilamiz, bu yerda S ixtiyoriy o’zgarmas.

5.O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladigan birinchi tartibli differensial tenglamalar

Ushbu M(x)dxQN(u)duq0 ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o’ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog’liq ko’paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog’liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning yechimi uni hadma-had integrallash yo’li bilan aniqlanadi:
 M(x)dx  N(y)dyC
Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan yechimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi S ni yechim uchun qulay ko’rinishda tanlash mumkin.
260- misol: tgxdx-ctgydyq0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
Echish: Bu yerda o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga egamiz. Uni hadma-had integrallaymiz:
 tgxdx - ctgydyC yoki –lncosx-lnsinyq-ln
Bu yerda integrallash doimiysi S ni – ln , ya’ni Sq - ln
orqali belgilash qulaydir, bundan
ln sin y ∙ cos x qln yoki sin y ∙ cos x q umumiy integralni topamiz.
Tahrif.
y' q ₁(x)₂(y) (1)
ko’rinishdagi tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu yerda ₁(x) va ₂(y) uzluksiz funksiyalar.
(1) tenglamani yechish uchun unda o’zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1) da uni o’rniga dy/dx ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ₂(y) 0 ga bo’lamiz va dx ga ko’paytiramiz. U o’olda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada x o’zgaruvchi faqat o’ng tomonda, u o’zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o’zgaruvchilar ajratildi. (2) tenglikni har ikki tomonini integrallab,

ekanligini hosil qilamiz, bu yerda S ixtiyoriy o’zgarmas.
6.Bir jinsli birinchi tartibli differinsial tenglamalar 4. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.
funktsiya uchun tenglik bajarilsa, funktsiyaga tartibli bir jinsli funktsiya deyiladi, bunda biror son. Masalan, funktsiya uchun bo’lib, funktsiya tartibli bir jinsli funktsiya bo’ladi. tartibli bir jinsli funktsiyadir( buni tekshirib ko’ring).
6-ta’rif. differetsial tenglamada funktsiya no’linchi tartibli bir jinsli funktsiya bo’lsa, bunday differensial tenglamaga birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Bir jinsli, tenglama almashtirish bilan o’zgaruvchilari ajraladigan

differensial tenglamaga keltiriladi.
7.Bir jinsliga keltiriladigan birinchi tartibli diffrensial tenglamalar. Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
(6)
ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s₁ va s₂ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:
bo’lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x₀, u=u₀ yechimni topamiz va
(7)
almashtirish bajaramiz. (7) almashtirishni (6) tenglamaga qo’ysak

,
ko’rinishga keladi.
Bundan (4) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

bo’lsa, u holda
tenglikka ega bo’lamiz.
Bundan esa
bo’ladi. (6) tenglamaga qo’ysak
( 8 )
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(8) tenglamada z=a₂x+b₂y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni ajraladigan tenglamaga hosil bo’ladi.
8.Birinchi tartibli chiziqli difrensial tenglamalar va ularning asosiy xossalari. Ta’rif. No’malum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglamaga chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Bunday tenglamaning umumiy ko’rinishi
(1)
dan iborat. Bunda ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. Agar ko’rilayotgan oraliqda  ning hamma qiymatlarida
bo’lmasa, (1) tenglamani
(2)
Ko’rinishga keltirish mumkin.
Bunda
(2) tenglamaga bir jinsli bo’lamagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Agar (2) da bo’lsa
(3)
tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. ((2) tenglamaga mos bo’lgan).
(3) tenglama O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
9.birinchi tartibli chiziqli diffrensial tenglamalarning yechimlarining asosiy xossalari. (3)
tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. ((2) tenglamaga mos bo’lgan).
(3) tenglama O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
(4)
 ning o’zgarmas qiymatlarida (4), (3) tenglamani qanoatlantiradi. Ya’ni (3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. (2) tenglamaning ham umumiy yechimini  ni ning funksiyasi deb, (4) ko’rinishda izlaymiz.
U holda (4) dan
(5)
(4) va (5) ga asosan (2) tenglama

Bundan
(6)
U holda (4) va (6) ga asosan (2) ning umumiy yechimi
(7)
bo’ladi.
Bu bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topish formulasi.
(7) dan ko’rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ikkita kvadratura bilan aniqlanadi.
Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini bunday usul bilan topishga, o’zgarmaslarni variasiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi.
Bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ikkita yechimlar yig’indisidan iboratdir.
Ulardan biri bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimidan, ikkinchisi esa, (2) tenglamaning xususiy

yechimdan iboratdir.
(7) ni integrallab bo’lgach u quyidagi ko’rinishga keladi.

Bundan ko’rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan chiziqli funksiyadan iboratdir.
(2) tenglamaning umumiy yechimini Eyler-Bernulli usulidan foydalanib topish ham mumkin.
(2) tenglamada
(8)
almashtirishni olamiz. Bunda va lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir.

(9)
(10)
funksiya ixtiyoriy bo’lgani uchun, uni shunday tanlab olamizkim

sharti bajarilsin.
Bundan
(11)
(11) ni (10) ga olib borib qo’ysak
(12)
ga ega bo’lamiz
(8),(11),(12) ga asosan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi.

Chiziqli differensial tenglama quyidagi xossalarga ega.