1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Evklid fazosining ta'rifi
Ta'rif 1. Haqiqiy chiziqli fazo deyiladi evklid, agar u har qanday ikkita vektorni bog'laydigan operatsiyani belgilaydi x va y bundan vektorlarning skalyar mahsuloti deb ataladigan fazo raqami x va y va belgilandi(x,y), buning uchun quyidagi shartlar bajariladi:
1. (x, y) = (y, x);
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , bu erda z- berilgan chiziqli fazoga tegishli har qanday vektor;
3. (?x,y) = ? (x, y) , qaerda ? - istalgan raqam;
4. (x,x) ? 0 , va (x,x) = 0 x = 0.
Masalan, bir ustunli matritsalarning chiziqli fazosida vektorlarning skalyar ko'paytmasi

formula bilan aniqlanishi mumkin

O'lchamlarning Evklid fazosi n Enni belgilang. e'tibor bering, bu ham chekli o'lchovli, ham cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari mavjud.
Ta'rif 2. X vektorining uzunligi (modul). Evklid fazosida En deyiladi (xx) va uni quyidagicha belgilang: |x| = (xx). Evklid fazosidagi har qanday vektor uchunuzunlik mavjud va nol vektor uchun u nolga teng.
Nolga teng bo'lmagan vektorni ko'paytirish x raqam uchun , biz vektorni olamiz, uzunlik qaysi biriga teng. Ushbu operatsiya deyiladi ratsion vektor x.
Masalan, bir ustunli matritsalar fazosida vektor uzunligi formula bilan aniqlanishi mumkin: 
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
X bo'lsin? En va y? En har qanday ikkita vektordir. Ular uchun quyidagi tengsizlik mavjudligini isbotlaylik:
(Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi)
Isbot. Ruxsat bering? - har qanday haqiqiy raqam. Bu aniq (?x ? y,?x ? y) ? 0. Boshqa tomondan, skalyar mahsulotning xossalari tufayli biz mumkin yozish
Tushundim
Ushbu kvadrat trinomialning diskriminanti ijobiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni. , shundan kelib chiqadi:
Tengsizlik isbotlangan.
Uchburchak tengsizligi
Mayli x va y Evklid fazosining ixtiyoriy vektorlari En, ya'ni. x? uz va y? uz.
Keling, buni isbotlaylik  . (Uchburchak tengsizligi).