Mavzu: Evklid fazosi

Mavzu: Evklid fazosi

Reja:

1. Evklid fazosi tarifi.

2. Prototipik misollar.

3. Affin tuzilishi.

4. Metrik tuzilish.

Evklid fazosi ning asosiy maydoni klassik geometriya. Dastlab bu edi uch o'lchovli bo'shliq ning Evklid geometriyasi, ammo zamonaviy matematika har qanday manfiy bo'lmagan butun sonning evklid bo'shliqlari mavjud o'lchov,[1] shu jumladan uch o'lchovli bo'shliq va Evklid samolyoti (ikkinchi o'lchov). Bu tomonidan kiritilgan Qadimgi yunoncha matematik Iskandariya evklidi,[2] va saralash Evklid uni keyinchalik topilgan boshqa bo'shliqlardan ajratish uchun ishlatiladi fizika va zamonaviy matematika.

• Evklid fazosi ning asosiy maydoni klassik geometriya. Dastlab bu edi uch o'lchovli bo'shliq ning Evklid geometriyasi, ammo zamonaviy matematika har qanday manfiy bo'lmagan butun sonning evklid bo'shliqlari mavjud o'lchov,[1] shu jumladan uch o'lchovli bo'shliq va Evklid samolyoti (ikkinchi o'lchov). Bu tomonidan kiritilgan Qadimgi yunoncha matematik Iskandariya evklidi,[2] va saralash Evklid uni keyinchalik topilgan boshqa bo'shliqlardan ajratish uchun ishlatiladi fizika va zamonaviy matematika.

Prototipik misollar

• Evklid vektor makonining odatiy holati mathbb {R} ^ {n} bilan jihozlangan vektor maydoni sifatida qaraldi nuqta mahsuloti sifatida ichki mahsulot. Evklid kosmosining ushbu o'ziga xos misolining ahamiyati shundaki, har bir evklid fazosi shundaydir izomorfik unga. Aniqrog'i, evklid makoni berilgan E o'lchov n, nuqta tanlash, deb nomlangan kelib chiqishi va an ortonormal asos ning {displaystyle {overrightarrow {E}}} dan evklid bo'shliqlarining izomorfizmini belgilaydi E ga { displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}
• Evklidning har bir o'lchov maydoni kabi n unga izkomorf, evklid fazosi mathbb {R} ^ {n} ba'zan deb nomlanadi standart Evklid maydoni o'lchov n.

Affin tuzilishi

• Evklid bo'shliqlarining ba'zi bir asosiy xususiyatlari faqat evklid fazosining an bo'lishiga bog'liq afin maydoni. Ular chaqiriladi afin xususiyatlari va chiziqlar, pastki bo'shliqlar va parallellik tushunchalarini o'z ichiga oladi. keyingi bo'limlarda batafsil bayon etilgan.
• Subspaces
• Asosiy maqola: Yassi (geometriya)
• Ruxsat bering E evklidlar makoni bo'ling va {displaystyle {overrightarrow {E}}} uning bog'liq vektor maydoni.
• A yassi, Evklid subspace yoki affin subspace ning E pastki qismdir F ning E shu kabi
• {displaystyle {overrightarrow {F}}={{overrightarrow {PQ}}mid Pin F,Qin F}}
• a chiziqli pastki bo'shliq ning {displaystyle {overrightarrow {E}}.} Evklid subspace F evklidlar makonidir overrightarrow F bog'liq vektor maydoni sifatida. Ushbu chiziqli pastki bo'shliq overrightarrow F deyiladi yo'nalish ning F.

Agar P ning nuqtasi F keyin

• Agar P ning nuqtasi F keyin
• {displaystyle F={P+vmid vin {overrightarrow {F}}}.}
• Aksincha, agar P ning nuqtasi E va V a chiziqli pastki bo'shliq ning {displaystyle {overrightarrow {E}},} keyin
• {displaystyle P+V={P+vmid vin V}}
• evklid yo'nalishining pastki fazosidir V.
• Evklid vektor fazosi (ya'ni Evklid fazosi shunday {displaystyle E={overrightarrow {E}}}) ikki xil pastki bo'shliqlarga ega: uning Evklid va pastki chiziqlari. Lineer subspaces - bu Evklid subspace va Evklide subspace - bu nol vektorni o'z ichiga olgan taqdirda, chiziqli subspace.

Metrik tuzilish

• Vektorli bo'shliq {displaystyle {overrightarrow {E}}} evklidlar makoni bilan bog'liq E bu ichki mahsulot maydoni. Bu shuni anglatadiki nosimmetrik bilinear shakl
• {displaystyle {egin{aligned}{overrightarrow {E}} imes {overrightarrow {E}}& o mathbb {R} (x,y)&mapsto langle x,y
• angle end{aligned}}}
• anavi ijobiy aniq (anavi langle x,x
• angle uchun har doim ijobiy bo'ladi x ≠ 0).
• Evklid makonining ichki mahsuloti ko'pincha deyiladi nuqta mahsuloti va belgilangan x ⋅ y. Bu, ayniqsa, a Dekart koordinatalar tizimi tanlangan, chunki, bu holda, ikkita vektorning ichki hosilasi nuqta mahsuloti ularning koordinata vektorlari. Shu sababli va tarixiy sabablarga ko'ra nuqta belgisi Evklid bo'shliqlarining ichki hosilasi uchun qavs yozuvidan ko'ra ko'proq qo'llaniladi. Ushbu maqola ushbu foydalanishni ta'qib qiladi; anavi langle x,y angle belgilanadi x ⋅ y

The Evklid normasi vektor x bu

• The Evklid normasi vektor x bu
• {displaystyle |x|={sqrt {xcdot x}}.}
• Ichki mahsulot va norma barchasini ifoda etish va isbotlashga imkon beradi metrik va topologik xususiyatlari Evklid geometriyasi.[iqtibos kerak] Keyingi kichik bo'lim eng asosiylarini tavsiflaydi. Ushbu bo'limlarda, E ixtiyoriy evklid fazosini bildiradi va {displaystyle {overrightarrow {E}}} tarjimalarning vektor makonini bildiradi.