1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Misol . Geometrik (koordinata) fazoda?3, qaysi Evklid fazosining alohida holati, orts i, j va k o'zaro ortogonal.
Ortonormal asos
Ta'rif 1 . E1 asosi Evklid fazosining ,e2 ,...,en En deyiladi ortogonzig'ir, agar bu asosning vektorlari juft ortogonal bo'lsa, ya'ni. agar
Ta'rif 2 . Agar ortogonal bazisning barcha vektorlari e1, e2 ,...,en yagona, ya'ni. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , keyin bazis chaqiriladi ortonormal, ya'ni. uchunortonormal asos

Teorema. (ortonormal asosni qurish bo'yicha)
Har bir Evklid fazosi E n ortonormal asoslarga ega.
Isbot . Ish uchun teoremani isbotlaylik n = 3.
E1, E2, E3 Evklid fazosining E3 ixtiyoriy asosi bo'lsin. Keling, ortonormal asosni quraylikbu bo'shliqda.Qaerga qo'yaylik ? - biz tanlagan haqiqiy raqamshuning uchun (e1 ,e2 ) = 0 bo'lsa, biz olamiz
va aniq nima? = 0, agar E1 va E2 ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e2 = E2 , va beri bu asosiy vektor.
(e1 ,e2 ) = 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Shubhasiz, agar e1 va e2 vektor E3 bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e3 = E3 ni olish kerak. Vektor E3? 0, chunki E1, E2 va E3 chiziqli mustaqil,shuning uchun e3? 0.
Bundan tashqari, yuqoridagi fikrdan kelib chiqadiki, e3 ni shaklda ifodalash mumkin emas e1 va e2 vektorlarining chiziqli birikmasi, shuning uchun e1, e2, e3 vektorlari chiziqli mustaqildir.sims va juft ortogonaldir, shuning uchun ularni Evklidning asosi sifatida olish mumkin.E3 bo'shliqlari. Bu faqat qurilgan asosni normallashtirish uchun qoladi, buning uchun u etarlituzilgan vektorlarning har birini uzunligiga bo'ling. Keyin olamiz

Shunday qilib, biz asos yaratdik ortonormal asosdir. Teorema isbotlangan.
Ixtiyoriy asosdan ortonormal asos qurishning qo'llaniladigan usuli asos deyiladi ortogonallashtirish jarayoni . E'tibor bering, isbotlash paytidateorema, biz juft ortogonal vektorlar chiziqli mustaqil ekanligini aniqladik. Bundan tashqari agar En da ortonormal asos bo'lsa, u holda har qanday vektor x uchun? Enfaqat bitta parchalanish mavjud
bu yerda x1 , x2 ,..., xn bu ortonormal asosdagi x vektorining koordinatalari.
Chunki
keyin skalyar tenglikni (*) ga ko'paytiramiz, olamiz  .
Keyinchalik, biz faqat ortonormal asoslarni ko'rib chiqamiz va shuning uchun ularni yozish qulayligi uchun, bazis vektorlari ustidagi nollartushamiz.