1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

2. Ixtiyoriy Evklid fazosining eng oddiy xossalari. Ushbu kichik bo'limda o'rnatilgan xususiyatlar chekli va cheksiz o'lchamdagi to'liq ixtiyoriy Evklid fazosi uchun amal qiladi.
4.1 teorema.Ixtiyoriy Evklid fazosining har qanday ikkita x va y elementlari uchun tengsizlik
(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
Isbot. Har qanday haqiqiy son l uchun skalyar ko‘paytmaning 4° aksiomasi tufayli tengsizlik (l x - y, l x - y) > 0 to‘g‘ri bo‘ladi.1°-3° aksiomalar tufayli oxirgi tengsizlik. sifatida qayta yozish mumkin
λ 2 (x, x) - 2 l (x, y) + (y, y) ≤ 0
Oxirgi kvadrat trinomialning manfiy emasligining zarur va yetarli sharti uning diskriminantining musbat emasligi, ya’ni tengsizlikdir ((x, x) = 0 holatda kvadrat trinomial chiziqli funktsiyaga aylanadi, lekin bu holda x elementi nolga teng, shuning uchun (x, y ) = 0 va tengsizlik (4.7) ham bajariladi)
(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)
Tengsizlik (4.6) darhol (4.7) dan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
Bizning keyingi vazifamiz ixtiyoriy Evklid fazosiga kontseptsiyani kiritishdir normalari(yoki uzunligi) har bir element. Buning uchun chiziqli normalangan fazo tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif. Chiziqli fazo R deyiladi normallashtirilgan agar quyidagi ikkita talab bajarilsa.
I. R fazoning har bir x elementiga haqiqiy raqam beriladigan, chaqiriladigan qoida mavjud norma(yoki uzunligi) belgilangan elementning va ||x|| belgisi bilan belgilanadi.
P. Bu qoida quyidagi uchta aksiomaga bo'ysunadi:
1 °. ||x|| > 0, agar x nolga teng bo'lmagan element bo'lsa; ||x|| = 0, agar x nol element bo'lsa;
2 °. ||l x || = |l| ||x|| har qanday x element va har qanday haqiqiy son l uchun;
3°. har qanday ikkita x va y element uchun quyidagi tengsizlik to'g'ri
||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)
uchburchak tengsizligi (yoki Minkovskiy tengsizligi) deb ataladi..