1 Ehtimolning sodda xossalari

1.4. Ehtimolning sodda xossalari

Hodisa ehtimoli ta’rifidan uning quyidagi sodda xossalari kelib chiqadi:

1. 
   muqqarar hodisaning ehtimoli 1 ga teng bo’ladi:
   

Bu holda hodisa ehtimoli ta’rifidagi n va m lar uchun n = m bo’lib,

bo’ladi;

2. 
   mumkin bo’lmagan hodisa ehtimoli nolga teng bo’ladi:
   

Bu holda m = 0 bo’lib,

bo’ladi;

3. 
   tasodifiy hodisa ehtimoli musbat son bo’lib, u nol bilan bir orasida bo’ladi:
   

Bu holda ta’rifdagi n va m lar uchun 0 < m < n bo’lib,

ya’ni bo’ladi.;

4. 
   A hodisaga qarama-qarshi hodisaning ehtimoli
   

bo’ladi.

Aytaylik, A hodisaning ehtimoli bo’lsin. Ravshanki, hodisaga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni ga teng. Unda

bo’lib, keyingi tenglikdan bo’lishi kelib chiqadi.

1.5. Ehtimolinng statistik ta’rifi

Yuqorida keltirilgan hodisa ehtimolining ta’rifida elementar hodisalar soni chekli va ular teng imkoniyatli deb qaraldi. Ko’p hollarda elementar hodisalarning soni chekli va ular teng imkoniyatli bo’lavermaydi.

Binobarin, bunday holda hodisa ehtimolini (1) formula yordamida topib bo’lmaydi.

Faraz qilaylik, n marta tajriba o’tkazilgan bo’lib, shu natijalardan biri A hodisa deylik. Ravshanki, tajriba natijasida A hodisa bir necha bor sodir bo’lishi mumkin. Aytaylik, A hodisa µ marta sodir bo’lsin.

8-ta’rif. A hodisaning sodir bo’lishi soni µ ni tajribalar soni n ga nisbati A hodisaning nisbiy chastotasi deyiladi va kabi belgilanadi:

Ravshanki,

(2) tenglikdan ni topamiz. Demak, n ta tajribada A hodisaning sodir bo’lish soni uning nisbiy chastotasini tajribalar soniga ko’paytirilganiga teng ekan.

Ko’p sondagi tajribalar va kuzatishlar natijasida n sonining o’sa borishi bilan nisbiy chastota biror son atrofida tebranib turishi aniqlangan. Masalan, tangani tashlash tajribasini qaraylik. Bunda tangani gerb tomoni tushishi hodisasi A ning nisbiy chastotasi 1-odamda 0,501, 2-odamda 0,485, 3-odamda 0,509, 4-odamda 0,506, 5-odamda 0,485, 6-odamda 0,488, 7- odamda 0,500, 8-odamda 0,497, 9-odamda 0,494, 10-odamda 0,484 bo’lishi kuzatilgan. Keltirilgan ma’lumotlardan ko’rinadiki, A hodisaning nisbiy chastotasi 0,5 soni atrofida tebranib turar ekan.

9-ta’rif. Agar n sonining katta qiymatlarida A hodisaning chastotasi p soni atrofida tebranib tursa, p soni A hodisaning ehtimoli deyiladi.

Tasodifiy hodisa ehtimolining bu statistik ta’rifi statistik masalalarni hal qilishda ko’p foydalaniladi.

1.6. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari

Faraz qilaylik, A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, P(A), P(B) ularning ehtimollari bo’lsin.

1-teorema. A va B hodisalar yig’indising ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng:

(3)

Aytaylik,

bo’lsin. A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lgani uchun A hodisaning sodir bo’lishi B hodisaning sodir bo’lishini inkor etadi va aksincha. Demak, A + B hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni m₁+m₂ bo’ladi. (1) formulaga ko’ra

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.

2-teorema. A va B hodisalar yig’indising ehtimoli uchun

(4)

formula o’rinli bo’ladi.

Aytaylik, barcha n ta elementar hodisalardan m₁ tasi A hodisaga, m₂ tasi B hodisaga, m₃ tasi esa A · B hodisaga qulaylik tug’dirsin. Ravshanki, A+B hodisaga m₁ +m₂−m₃ ta elementar hodisalar qulaylik tug’diradi. (1) formulaga ko’ra

bo’ladi. Keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.

Eslatma. Agar A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lsa, unda A·B mumkin bo’lmagan hodisa bo’lib, P(A·B) = 0 bo’ladi. Demak, (3) formula (4) formulaning hususiy holi ekan.

A va B hodisalarni qaraylik.

10-ta’rif. A va B hodisalarning har birining sodir bo’lishi ehtimoli boshqasining sodir bolishishi yoki bo’lmasligi ehtimoliga bog’liq bo’lmasa, A va B hodisalar erkli hodisalar deyiladi, aks holda A va B hodisalar bog’liq hodisalar deyiladi.

1.7. To’la ehtimol formulasi

Faraz qilaylik,

(6)

hodisalar:

1) o’zaro bir-biri bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib,

2) ular hodisalarning to’la gruppasini tashkil etsin.

Aytaylik, A hodisasi (6) hodisalarning bittasi va faqat bittasi sodir bo’lganda sodir bo’lsin.

Odatda, lar A hodisaning gipotezalari deyiladi.

5-teorema. A hodisaning ehtimoli

(7)

bo’ladi.

A hodisa H hodisalarning bittasi va faqat bittasi sodir bo’lgandagina sodir bo’lgani uchun

Modomiki, lar o’zaro birgalikda bo’lmagan hodisalar ekan, unda

hodisalar ham o’zaro birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’ladi. Ehtimollarning qo’shish va ko’paytirish teoremalaridan foydalanib,

formulani topamiz.

(7) formula to’la ehtimol formulasi deyiladi.

1.8. Beyes formulasi