1. chiziqsiz ikki noma’lumli tenglamalardan tuzilgan

4.2-masala. Quyidagi chiziqsiz tenglamalar sistemasi yechimining musbat qimatlarini Nyuton usulida toping.

Sistemasi yechimining boshlang‘ich qimatlarini x₀= y₀= z₀=0.5 bo‘lsin.
Yechish.
1.Sistemaning yechimga 1-yaqinlashishining qimatlarini topamiz.
f(x)=
boshlang‘ich yaqinlashish qimatlari x₀= y₀= z₀=0.5 asosida
f(x)=
Yakobi W matritsasini tuzamiz:

W(x⁽⁰⁾)=
detW(x⁽⁰⁾)=
W^-1(x⁽⁰⁾)= -
Ketma-ket yaqinlashish formulasiga asosan 1-yaqinlashishining qimatlarini topamiz:
x⁽¹⁾= x⁽⁰⁾_- W^-1(x⁽⁰⁾)f(x⁽⁰⁾)=
=
=
2. Endi sistemaning yechimga 2-yaqinlashishining qimatlarini topamiz.
F(x)=
1-yaqinlashish qimatlari x⁽¹⁾= asosida
f(x)=
Yakobi W mantritsasini tuzamiz:
W=
W(x⁽¹⁾)=
detW(x⁽⁰⁾)=
W^-1(x⁽¹⁾)=
Ketma-ket yaqinlashish formulasiga asosan 2-yaqinlashishining qimatlarini topamiz:
x⁽²⁾= x⁽¹⁾_- W^-1(x⁽¹⁾)f(x⁽¹⁾)=
= =
=
x⁽²⁾= , f(x)=
bundan yechimni quyidagicha:
x=0.7852, y=0.49662, z=0.36992.


4.2. CHiziqsiz tenglamalar sistemasining yechimini topish uchun
ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usuli

1.CHiziqsiz tenglamalardan tuzilgan

(4.5)
sistema berilgan bo‘lsin.
Bu sistema yechimini o‘z ichiga oluvchi Kesmasini topamiz:

(4.5) ga teng kuchli bo‘lgan
(4.6)

Teorema. D Kesmada

1) ₁(x,y), ₂(x,y) funktsiyalar aniqlangan va uzluksiz xususiy hosilalarga ega;
2) boshlang‘ich (x₀, y₀) nuqta D Kesmaga tegishli;
3)D Kesmada q₁<1, q₂<1 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa,
u holda
x _n=₁(x_n-1,y _n-1)
y _n=₂(x _n-1,y _n-1), (n=1,2,3, …) (4.7)
formulalar yordamida tuzilgan {(x_n;y_n)} nuqtalar ketma-ketligi barcha hadlari D Kesmada yotadi va u (4.6) sistema yechimi bo‘lgan (,) nuqtaga yaqinlashadi.
4 .3-masala.

CHiziqsiz tenglamalar sistemasi yechimini =0.01 aniqlikda ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usulida topamiz.
Yechish. 1) Berilgan sistemani (4.6) ko‘rinishga keltiramiz:

Bu sistema yechimini o‘z ichiga olgan Kesma
D={0x0,3; -2,2y-1,8}
ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.
₁(x,y)= Cos(y)/3+0.3
₂(x,y)=Sin(x-0.6)-1.6
funktsiyalar uchun teorema shartlarini tekshiramiz:

D Kesmada

Demak, x₀=0.15, y=-2 deb qabul qilib,
x_n=₁(x_n-1,y _n-1)= Cos(y_n-1 )/3+0.3
y_n=₂(x _n-1,y _n-1)= Sin(x_n-1 -0.6)-1.6
n=1,2,3,…
ketma-ketlik bilan ildizga yaqinlashishimiz mumkin.
X₀=0.15, y₀=-2
x₁=0.1616, y₁=-2.035
x₂=0.1508, y₂=-2.0245
x₃=0.1538, y₃=-2.0342

Demak, = 0.01 aniqlik bilan taqribiy yechim deb quyidagilarni olamiz:
x0.15, y  -2.03.
Endi iteratsiya usulini