1. Chiziqli almashtirishlar va ularning matrisalari

1.Chiziqli almashtirishlar va ularning matrisalari

Ushbu mavzuda biz chiziqli fazoda aniqlangan akslantirishlar ichida muhim o‘rin egallaydigan chiziqli almashtirish tushunchasi kiritamiz.

1-ta’rif. o`lchovli fazoda aniqlangan akslantirish uchun

1. 
   
   
2. 
   ;
   

shartlar bajarilsa, u holda A akslantirish chiziqli almashtirish deyiladi. Odatda chiziqli almashtirishning qiymati o‘rniga yoziladi.

Misol 1. a) uch o‘lchamli Yevklid fazosida vektorni koordinata boshidan o‘tadigan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan almashtirishni qaraymiz. Bunda xar bir vektorga uni burishdan so‘ng hosil bo‘lgan vektorni mos qo‘yamiz. Bu moslik 1) va 2) shartlarni qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas.

Masalan, 1) shartni tekshirib ko‘raylik: ifoda avval hamda vektorlarning qo‘shilishini, so‘ngra hosil bo‘lgan vektorning burilishini bildiradi. esa avval hamda vektorlarning burilishini, so‘ngra ularning qo‘shilishini bildiradi. O‘z-o‘zidan ravshanki, ikkala holda ham natija bir hil bo‘ladi. Demak, akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.

b) Bizga Yevklid fazosi va uning koordinatalar boshidan o‘tuvchi biror tekisligi bo‘lgan qism fazosi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy vektorga uning bu tekislikdagi proeksiyasini mos qilib qo ‘yamiz. Bu moslik ham chiziqli almashtirish bo‘ladi.



1-tasdiq

Berilgan vektorlar uchun

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli almashtirish mavjud va yagona.

Isbot. Dastlab, A chiziqli almashtirish Aen vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanishini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, fazodan olingan ixtiyoriy

vector uchun

bo‘ladi. Demak, vektor vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanadi.

Endi xar qanday vektorlar uchun tenglikni qanoatlantiradigan A chiziqli almashtirish mavjudligini ko‘rsatamiz.

Buning uchun ixtiyoriy

vektorga

vektorni mos qilib qo‘yamiz. vektor bazis vektorlar orqali bir qiymatli ifoda etilgani uchun, unga muayyan bir vektor mos qo‘yiladi. Bunday aniqlangan akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.

Chiziqli almashtirishlar va matritsalar orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz. Yuqoridagi tasdiqdan ixtiyoriy vektorlar uchun

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli almashtirish yagona ravishda aniqlanishiga ega bo‘ldik. vektorning bazisdagi koordinatalarini orqali belgilaylik, ya’ni

Ushbu koeffitsientlar orqali , ( matritsani hosil qilamiz. Hosil qilingan matritsa chiziqli almashtirishning bazisdagi matritsasi deb aytiladi.

Shunday qilib, berilgan bazisda xar bir chiziqli almashtirishga ( , matritsa bir qiymatli mos qo‘yilishiga ega bo‘ldik. Demak, chiziqli almashtirishlarni matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Lekin ushbu matritsa bazisga bog‘liq ekanligini, bazis o‘zgarganda esa matritsaning ham o‘zgarishini ta’kidlab o‘tish joiz.

Misol-2. Aytaylik, uch o‘lchamli Yevklid fazosi bo‘lsin. chiziqli almashtirish sifatida vektorni tekisligiga proeksiyalashdan iborat bo‘lgan akslantirishni olamiz. Bazis sifatida 204 koordinatalar o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorlarni qabul qilamiz. U holda

ya’ni, bu bazisda almashtirishning matritsasi

ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Endi chiziqli almashtirishlar ustida amallarni aniqlaymiz. Chiziqli almashtirishlar ustida qo‘shish, songa ko‘paytirish va ko‘paytirish amallarini aniqlash mumkin.