1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

Quyidagi bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi ning umumiy yechimi va fundamental yechimlar sistemasini toping.

1. 
   
   

Yechilishi: Berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va uni elementar almashtirishlar yordami bilan zinasimon matritsa ko‘rinishiga keltiramiz:

.

Bundan va bo‘lgani uchun berilgan sistema Kroneker – Kapelli teoremasiga ko‘ra yagona yechimga ega. Oxirgi hosil qilingan sistemadan mos ravishda ushbu sistemani yozamiz:

Bu sistemadagi ikkinchi tenglamadan va bu qiymatni sistemadagi birinchi tenglamaga qo‘ysak, u holda bo‘ladi.

Javob. Umumiy yechim: .

2. 
   
   

Yechilishi: Berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va uni elementar almashtirishlar yordami bilan zinasimon matritsa ko‘rinishiga keltiramiz:

.

Bundan va bo‘lgani uchun berilgan sistema Kroneker–Kapelli teoremasiga ko‘ra cheksiz ko‘p yechimga ega. Bosh (bazis) o‘zgaruvchilar soni va ozod o‘zgaruvchilar soni ga teng. Bosh o‘zgaruvchilarni aniqlash uchun matritsadan hosil qilingan matritsaning noldan farqli bo‘lgan birorta ikkinchi tartibli minorini tanlaymiz, masalan . Bu minorning birinchi va ikkinchi ustunlari matritsaning va o‘zgaruvchilariga mos keluvchi ustunlari bo‘lib, bu o‘zgaruvchilar esa bazis o‘zgaruvchilar, qolgan o‘zgaruvchi esa ozod o‘zgaruvchi bo‘ladi. Biz qarayotgan misolda bazis o‘zgaruvchilar sifatida va o‘zgaruvchilarni tanlash mumkin emas, chunki bu o‘zgaruvchilarga mos keluvchi minor nolga teng, ya’ni Oxirgi hosil qilingan sistemadan mos ravishda ushbu sistemani yozamiz:

Ikkinchi tenglamadan ni hosil qilib, uni birinchi tenglamaga qo‘ysak, u holda ga ega bo‘lamiz. Agar deb olsak, u holda sistemaning umumiy yechimi ni hosil qilamiz. Bundan fundamental yechimlar sistemasi ga ega bo‘lamiz. Umumiy yechimning fundamental yechimlar sistemasi orqali chiziqli kombinatsiyasi esa , .