1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

a
H
vektorni chizing. 2,5
a
H
, 
−
4
a
H
, 
−
0,5
a
H
vektorlarni yasang.
2)
= +
H
H
H
m
a b
, 
=
H
H
2
n
a
. 
+
H
H
2
3
m
n
vektorni 
a
H
v a 
H
b
vektorlar orqali
ifodalang.
536.
Agar: 1) 
0
H
H
=
a
; 2) 
k
= 0 bo‘lsa, 
k
a
H
ko‘paytma nimaga teng?
Geometrik masalalarni yechishda va teoremalarni isbotlashda vektorlardan
keng foydalaniladi.
1. M a s a l a .
C
nuqta 
AB
kesmaning o‘rtasi, 
O
nuqta esa tekislikning ixti-
yoriy nuqtasi. 
=
+
KKKK
H
KKK
H
KKK
H
1
(
)
OC
OA OB
ekanini isbot qiling (241- rasm).
Y e c h i l i s h i
.
1- u s u l . Uchburchak qoidasiga ko‘ra:
=
+
KKKKH KKKH KKKKH
O
C
OA A
C
va
=
+
KKKKH KKKH KKKKH
O
C
OB B
C
.
Bu ikki tenglikni qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
=
+
+
+
KKKKH KKKH KKKH
KKKKH KKKKH
2
(
)
O
C
OA OB
A
C
B
C
.
C
nuqta 
AB
kesmaning o‘rtasi bo‘lgan-
ligidan, u holda 
+
=
H
KKKKH KKKKH
0
)
C
*
C
, chunki qarama-
qarshi vektorlarning yig‘indisi nol vektorga teng.
Shunday qilib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
=
+
KKKKH KKKH KKKH
2
O
C
OA OB
yoki
=
+
KKKK
H
KKK
H
KKK
H
1
(
)
OC
OA OB
.
2- u s u l .
OAB
uchburchakni parallelogramm-
ga to‘ldiramiz (242- rasm). 
+
=
KKKH KKKH KKKH
OA OB O
D
(parallelogramm qoidasiga ko‘ra). Parallelo-
grammning diagonallari kesishish nuqtasida teng
ikkiga bo‘linadi, shuning uchun 
=
KKKKH KKKH
O
C CD
v a
=
KKKH
KKKKH
2
O
D
O
C
.
Demak, 
+
=
2
O
A OB
OC
KKKH KKKH
KKKH
. Bundan:
=
+
KKKK
H
KKK
H
KKK
H
1
2
(
)
OC
OA OB
.
4 3- m a v z u .
VEKTORLARNING MASALALARNI
YECHISHGA TATBIG‘I
O
A
C
B
241
A
B
D
C
O
242

---

140
T e o r e m a .
2. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema.
Uchburchakning o‘rta chizig‘i uning uchinchi tomoniga parallel, uning
uzunligi esa bu tomon uzunligining yarmiga teng.
I s b o t .
EF
kesma 
AB
C
uchburchakning o‘rta chizig‘i
(243- rasm). 
EF
||
A
C
va 
=
1
EF
BC
ekanini isbotlaymiz.
Dastlab teoremani vektor ko‘rinishida yozamiz.
E
nuqta 
AB
C
uchburchak 
AB
tomonining o‘rtasi, 
F
esa
A
C
tomonining o‘rtasi bo‘lsin (243- rasm). Unda
=
KKKK
H
KKK
H
1
A
E
AB
va 
=
KKK
H
KKKK
H
1
2
A
F
AC
.
Bular teorema shartining vektor ko‘rinishidagi yozuvidir.
Endi uni isbotlashga o‘tamiz.
=
−
=
−
=
−
=
KKK
H
KKK
H
KKKK
H
KKKK
H
KKK
H
KKKK
H
KKK
H
KKKK
H
1
1
1
1
(
)
EF
A
F
A
E
AC
AB
AC AB
BC
.
Shunday qilib, 
=
KKK
H
KKKK
H
1
EF
BC
vektor tenglikni hosil qildik. Endi uni geometrik
talqin qilish qoldi, xolos.
B i r i n c h i d a n , bu tenglikdan 
KKK
H
EF
va 
KKKKH
B
C
vektorlar yo‘nalishdosh ekani
kelib chiqadi, va demak, 
EF
||
B
C
.
I k k i n c h i d a n , bu tenglikdan 
=
KKKKKH
KKKH
1
EF
BC
kelib chiqadi. Bundan esa
EF
– o‘rta chiziq 
B
C
tomonning yarmiga tengligi ravshan. Shunday qilib, uch-
burchakning o‘rta chizig‘i haqidagi har ikkala tasdiqni isbotladik.
Keltirilgan isbotdan ko‘rinib turibdiki, masala va teoremalarni vektor usuli
bilan yechish masalalarni algebraik yechishga o‘xshaydi. Bu masalani yechishning
bir tomonidir va u uch bosqichdan iborat.
Birinchi bosqich.
Masala (teorema) shartini vektor ko‘rinishida yozish va qu-
lay vektorlarni kiritish (o‘xshashlik – noma’lumlarni kiritish va algebraik tengla-
mani tuzish).
Ikkinchi bosqich.
Vektor algebrasining vositalari orqali masala sharti shunday
almashtiriladiki, masalani vektor ko‘rinishida yechish imkoniyati bo‘lsin (o‘x-
shashlik – algebraik tenglamani yechish).
Uchinchi bosqich.
Olingan vektor munosabat dastlabki atamalarda talqin qili-
nadi (o‘xshashlik – tenglamani algebraik yechgandan so‘ng, javobni yozish).
A
B
C
E
F
243

---

141
537.
C
nuqta 
AB
tomonning o‘rtasi. Ifodalang:
1) 
KKKKH
A
C
vektorni 
KKKH
C
B
vektor orqali; 2) 
KKKH
AB
vektorni 
KKKH
C
B
vektor orqali;
3) 
KKKKH
A
C
vektorni 
KKKH
BA
vektor orqali.
538.
C
nuqta 
AB
kesmani 
A
uchidan boshlab hisoblaganda 1 : 3 nisbatda
bo‘ladi. Ifodalang: 1) 
A
C
KKKK
H
vektorni 
C
B
KKK
H
vektor orqali; 2) 
AB
KKK
H
vektorni
C
A
KKK
H
vektor orqali; 3) 
C
B
KKK
H
vektorni 
KKKH
BA
vektor orqali.
539.
AB
va 
C
D
kesmalar: 1) 
AB
=
C
D
; 2) 
AB
=
2
C
D
ekani vektor tilida qan-
day yoziladi?
540.
AA
1
, 
BB
1
va 
CC
1
kesmalar –
AB
C
uchburchakning medianalari. 
KKKKH
AA
,
KKKKH
BB
, 
KKKKH
CC
vektorlarni 
=
KKKKH
H
a
A
C
va 
=
H KKKH
b
)*
vektorlar orqali ifodalang.
541.
Ifodalarni soddalashtiring:
1) 
(
) (
)
+
+
+
KKKH KKKKH
KKKH KKKH
AB AC
BA CB
;
2) 
−
−
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
AB
D
B
C
A
D
A
.
542.
AB
v a 
C
D
kesmalar 
O
nuqtada kesishadi. 
AO
= 2
OB
v a 
O
D
= 2
O
C
.
Vektordan foydalanib, 
B
C
||
A
D
va 
1
BC
A
D
=
ekanini isbot qiling.
543.
AB
C
D
– parallelogramm va uning diagonallari kesishgan 
O
nuqta beril-
gan. 
+
=
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
OA O
C
OB O
D
ekanini isbotlang.
544.
AB
C
D
– parallelogramm va shu parallelogrammdan tashqarida yotuvchi
ixtiyoriy 
O
nuqta berilgan.
1) 
KKKH
O
D
vektorni 
KKKH
OA
, 
KKKH
OB
va 
KKKKH
O
C
vektorlar orqali ifodalang.
2) 
+
=
+
KKKH KKKKH KKKH KKKH
OA O
C
OB O
D
ekanini isbotlang.
545.
E
v a 
F
nuqtalar 
AB
C
D
to‘rtburchakning 
A
C
v a 
B
D
diagonallarining
o‘rtasi. 
(
)
=
+
1
2
EF
A
D
CB
KKKH
KKKH KKKH
ekanini isbotlang.
546.
AB
C
D
parallelogramm diagonallari 
O
nuqtada kesishadi, 
P
nuqta
OB
ning o‘rtasi. 
AP
KKK
H
vektorni 
=
KKKH H
AB
a
va 
=
KKKKH H
A
C
b
vektorlar orqali ifo-
dalang.
547.
AB
C
D
rombda 
N
nuqta 
C
D
tomonning o‘rtasi. 
KKKKH
A
N
vektorni 
KKKH
AB
v a
KKKKH
A
D
vektorlar orqali ifodalang.
548.
AB
C
uchburchakda 
AA
1
– mediana, 
O
– 
AA
1
ning o‘rtasi. 
BO
KKKK
H
vektorni
a B A
=
KKK
H
H
va 
b B
C
=
H
KKKK
H
vektorlar orqali ifodalang.
Savol, masala va topshiriqlar

---

142
Tekislikda 
xOy
Dekart koordinatalar sistemasi, ya’ni koordinatalar boshi
O
nuqta, koordinata o‘qlarining yo‘nalishi va masshtab birligi – birlik kesma
berilgan bo‘lsin. Bunda tekislikdagi ixtiyoriy 
A
nuqta o‘zining abssissasi 
x
v a
ordinatasi 
y
ga ega bo‘ladi: 
A
(
x
;
y
). Moduli bir birlikka ega bo‘lgan hamda
yo‘nalishi 
Ox
o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni 
i
H
bilan, xuddi shuningdek,
Oy
o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni 
j
H
bilan belgilaymiz (244- rasm).
Tekislikda koordinatalari (
x
; 
y
) bo‘lgan 
A
nuqta berilgan bo‘lsin. 
OA
x
A 
uch-
burchakni qaraylik. Bu uchburchakda 
=
+
KKKH KKKKH KKKKKH
x
x
OA OA
A A
. Ammo 
OA
x
=
x,
A
x
A
=
OA
y
=
y
bo‘lgani uchun 
= ⋅
KKKKH
H
x
OA
x
i
, 
= ⋅
KKKKKH
H
x
A A
y j
bo‘ladi. Bundan
=
= ⋅ + ⋅
KKKH
H
H
H
a
OA x i
y j
(1)
tenglikni hosil qilamiz. Bu (1) tenglik vektorning 
koordinata ifodasi 
deb ataladi.
Demak, boshi koordinatalar boshida, uchi 
A
(
x
; 
y
) nuqtada bo‘lgan vektorni
koordinata o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan 
i
H
v a 
j
H
vektorlar orqali (1) ko‘rinishda
yozish mumkin ekan.
Bunda (
i
H
;
j
H
) vektorlar juftligi 
bazis vektorlar
, 
x
v a 
y
sonlar esa
a
H
vektorning 
koordinatalari
deb ataladi.
Agar vektorning (1) koordinata ifodasi ma’lum bo‘lsa, vektor koordinatalari
bilan berilgan deyiladi va qisqacha 
a
H
(
x
; 
y
) shaklida yoziladi:
= ⋅ + ⋅
H
H
H
(
;
)
a
x
y
x i
y j
.
(2)
T a ’ r i f .
Agar A
1
(
x
1
;
y
I
)
va A
2
(
x
2
;
y
2
)
bo‘lsa, x
2
−
x
1
va y
2
−
y
1
sonlar
1 2
A A
KKKKKH
vektorning koordinatalari deyiladi
(245- rasm).
Belgilanishi:
(
)
−
−
KKKKKH
1 2
2
1
2
1
;
) )
x
x
y
y
.
Q o i d a .
Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxirining koordina-
talaridan boshining mos koordinatalarini ayirish kifoya.
44- mavzu.
VEKTORNING KOORDINATALARI
j
H