1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

a
b
d
b
a
H
H
−
a
H
b
H
232
a
H
b
H
A
B
231

---

135
Yuqoridan ko‘rinadiki, 
ayriluvchi
vektorning
oxiri
ayirma
vektorning 
boshi
, 
kamayuvchi
vek-
torning 
oxiri
esa 
ayirma
vektorning 
oxiri
vazi-
fasini o‘tar ekan. Qoidani esda saqlash qulay
bo‘lishini ta’minlash maqsadida u sxematik tarz-
da ko‘rsatildi.
Vektorni qo‘shishda parallelogramm usulidan
foydalansak (233- rasm), ayirma vektor parallelo-
grammning ikkinchi diagonalidan iborat bo‘ladi.
M a s a l a .
AB
C
uchburchak berilgan. Quyidagi: 1) 
KKKH
BA
; 2) 
KKKH
C
B
;
3)
+
KKKH KKKH
C
B BA
vektorlarni 
=
KKKH
H
a
AB
va 
=
H KKKKH
b
A
C
vektorlar orqali ifodalang.
Y e c h i l i s h i
.
1)
KKKH
BA
va 
KKKH
AB
– qarama-qarshi vektorlar, shuning uchun
= −
KKKH
KKKH
BA
AB
yoki
= −
KKKH
H
BA
a
.
2) Uchburchak qoidasiga ko‘ra: 
=
+
KKKH KKKH KKKH
C
B
C
A AB
. Lekin 
= −
KKKH
KKKKH
C
A
A
C
, shuning
uchun
(
)
.
C
BAB A
C
ABA
C
a b
=
+ −
=
−
= −
KKKH KKKH
KKKH
KKKH KKKH
H
H
516.
1) Uchburchak va parallelogramm qoidasiga ko‘ra vektorlar yig‘indisi
qanday topiladi?
2) Berilgan vektorga qarama-qarshi vektor deb nimaga aytiladi?
3) Ikki vektor ayirmasi deb nimaga aytiladi?
517.
234- rasmda 
=
H
va 
b
H
vektorlar tasvirlangan. 
=
H
+
b
H
vektorni ikki usul bi-
lan yasang.
518.
235- rasmda 
m
H
, 
n
H
va 
k
H
hamda 
d
H
va 
e
H
vektorlar tasvirlangan. Vektor-
larni yasang: 1) 
m
H
+
n
H
+
k
H
; 2) 
d
H
+
e
H
.
519.
236- rasmda 
a
H
, 
b
H
va 
c
H
hamda 
d
H
va 
e
H
vektorlar tasvirlangan. Vektor-
larni yasang: 1) 
a
H
−
b
H
+
c
H
; 2) 
e
H
−
d
H
.
520.
AB
CD
parallelogramm berilgan. 
(
)
−
+
=
ABA
D
B
C
AB
KKKH KKKH
KKKH KKKH
tenglik bajarila-
dimi? Tekshirib ko‘ring.
521.
AB
CD
rombda: 
A
D
=
20 sm
, B
D
=
24 sm, 
O
– diagonallarining kesishish
nuqtasi. 
+
−
−
KKKKH KKKH KKKKH KKKH
A
D
AB B
C
OB
ni toping.
Savol, masala va topshiriqlar
b
H
a
H
m
H
n
H
k
H
d
H
e
H
1)
2)
234
235
b
H
O
B
C
A
a
H
b
a
H
H
+
b
a
H
H
−
233

---

136
522.
AB
CD
parallelogrammda: 
=
KKKH
H
C
A
a
, 
=
KKKH H
CD
b
. 
KKKH
AB
, 
KKKKH
B
C
, 
KKKH
D
A
vektorlarni
a
H
va 
b
H
vektorlar orqali ifodalang.
523.
E
va 
F
–
AB
C
uchburchakning 
AB
va 
A
C
tomonlarining o‘rtalari. 
KKKH
B
F
,
KKKKH
E
C
, 
KKKH
EF
va 
KKKKH
B
C
vektorlarni 
=
KKKKH
H
a
A
E
va 
=
H KKKH
b
A
F
vektorlar orqali ifo-
dalang.
524.
AB
CD
– ixtiyoriy to‘rtburchak.
+
=
+
AB B
C
A
D DC
KKKH KKKH
KKKH KKKH
ekanini isbotlang.
525.
1) 237- rasmda 
m
H
v a 
n
H
vektorlar 
tasvirlangan.
m
H
+
n
H
vektorni ikki usul
bilan yasang.
2)
238- rasmda 
a
H
v a 
b
H
hamda 
c
H
v a 
d
H
vektorlar
tasvirlangan. 
b
H
−
a
H
v a
c
H
+
d
H
vektorlarni yasang.
526.
AB
CD
rombda: 
=
KKKH H
AB
a
, 
=
KKKKH H
A
C
b
. 
KKKH
C
B
, 
A
D
KKKKH
, 
KKKKH
DC
vektorlarni 
a
H
va
b
H
vektorlar orqali ifodalang.
Biror 
a
H
vektorni olamiz va 
a
H
+
a
H
+
a
H
yig‘indini topamiz (239- rasm).
Bunday yig‘indini 3 ·
a
H
deb belgilaymiz va bu ifodani 
a
H
vektorning 3 soniga
ko‘paytmasi deb atashimiz tabiiydir.
T a ’ r i f .
Nol bo‘lmagan 
a
H
vektorning k songa ko‘paytmasi deb, shunday
b
H
=
k ·
a
H
vektorga aytiladiki, bunda uning uzunligi |k|·|
a
H
| songa teng
bo‘lib, yo‘nalishi k 
≥
0 bo‘lganda 
a
H
va 
b
H
vektorlar yo‘nalishi bilan bir xil,
k < 0 bo‘lganda esa yo‘nalishlari qarama-qarshi bo‘ladi.
Nol vektorning ixtiyoriy songa ko‘paytmasi nol vektor deb hisoblanadi.
a
H
b
H
c
H
d
H
e
H
m
H
n
H
1)
2)
236
237
a
H
b
H
c
H
d
H
238
42- mavzu.
VEKTORNI SONGA KO‘PAYTIRISH

---

137
T e o r e m a .
a
H
vektorning
k 
songa ko‘paytmasi 
k
a
H
kabi belgilanadi (son ko‘paytuvchi
chap tomonga yoziladi). Ta’rifga ko‘ra: |
k
a
H
| 
=
|k|·|
a
H
|.
Vektorning songa ko‘paytmasi ta’rifidan bevosita quyidagilar kelib chiqadi:
1) 
istalgan vektorning nolga ko‘paytmasi nol vektor bo‘ladi; 2) istalgan son va
ixtiyoriy 
a
H
vektor uchun 
a
H
va k
a
H
vektorlar kollinear.
Endi vektorni songa ko‘paytirishning asosiy xossalarini sanab o‘tamiz.
Istalgan 
=
H
, 
b
H
vektorlar va istalgan k, l sonlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
1°. (
k · l
)
a
H
=
k ·
(
l
a
H
) – 
guruhlash qonuni.
2°. (
k
+
l
)
a
H
=
k
a
H
+
l
a
H
– 
birinchi taqsimot qonuni.
3°. 
k
(
a
H
+
b
H
) 
=
k
a
H
+
k
b
H
– 
ikkinchi taqsimot qonuni.
4°. 
k ·
0
H
=
0 ·
a
H
=
0
H
.
Parallel to‘g‘ri chiziqlarqa yoki bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ikki vektorni
kollinear vektorlar
deb atalishini yana bir bor eslatib o‘tamiz.
l
to‘g‘ri chiziq va unga parallel bo‘lgan 
a
H
, 
b
H
va 
c
H
vektorlar berilgan bo‘l-
sin (240- rasm). Ta’rifga ko‘ra, 
a
H
, 
b
H
va 
c
H
vektorlar kollinear vektorlar bo‘ladi.
Bu yerda 
a
H
va 
b
H
vektorlar bir xil yo‘nalgan, 
c
H
vektor esa 
a
H
va 
b
H
vektorlarga
nisbatan qarama-qarshi yo‘nalgan.
Ma’lumki, vektorni songa ko‘paytirganda ko‘paytma vektorning yo‘nalishi
berilgan vektorga parallel bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim xulosani hosil
qilamiz:
vektorning songa ko‘paytmasi shu vektorga kollinear vektordir.
Vektor o‘zining moduliga teng songa bo‘linsa, shu vektorga kollinear
birlik vektor hosil bo‘ladi.
I s b o t.
a
H
vektorning moduli |
a
H
| bo‘lsin. 
a
H
vektorning 
1
| |
a
k
=
H
songa
ko‘paytmasini qaraylik:
1
| |
|
|
| | | |
| |
1
a
k
a
k
a
a
=
×
=
×
=
H
H
H
H
.
a
H
a
H
a
H
a
H
a
H
b
H
c
H
l
3
a
H
239
240

---

138
Demak, ko‘paytma vektor moduli bir birlikka teng.
Moduli birga teng vektorni 
birlik vektor
deb ataymiz. Agar 
a
H
vektor bo‘yi-
cha yo‘nalgan birlik vektorni 
e
H
deb belgilasak, teoremaga ko‘ra: 
| |
a
a
e
=
H
H
H
yoki bu
tenglikni |
a
H
| songa ko‘paytirsak: 
a
H
= |
a
H
| ·
e
H
.
Natijada biz vektorlarni o‘rganishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan tenglikni
hosil qildik, ya’ni 
har qanday vektor shu vektor moduli bilan o‘ziga kollinear
birlik vektorning ko‘paytmasiga teng ekan.
527.
1) Berilgan vektorning songa ko‘paytmasi deb nimaga aytiladi?
2) Vektorni songa ko‘paytirishning xossalarini ayting.
3) Birlik vektor deganda nima tushuniladi?
528.
Uzunligi 2 sm ga teng bo‘lgan 
a
H
vektorni chizing. 4
a
H
, 
−
2
a
H
, 3
a
H
,
−
1,5
a
H
, 1,5
a
H
vektorlarni yasang.
529.
k
ning qanday qiymatlarida 
a
H
(
0)
a
≠
H
H
va 
k
a
H
vektorlar: 1) yo‘nalishdosh;
2) qarama-qarshi yo‘nalgan; 3) teng bo‘ladi?
530.
Ifodalarni soddalashtiring: 1) – 0,5 · (12
a
H
); 2) 3(
a
H
+
b
H
); 3) 3
b
H
–
b
H
.
531.
AB
CD
parallelogrammda 
O
– diagonallarning kesishish nuqtasi, 
K
nuqta 
–
CD
tomonning o‘rtasi. 
KKKH
OA
v a 
KKKKH
AK
vektorlarni 
=
KKKH
H
AB
a
v a 
=
KKKKH H
A
D
b
vektorlar orqali ifodalang.
532.
1) 1 ·
a
H
=
a
H
; 2) (–1) ·
a
H
= −
a
H
tengliklar ixtiyoriy 
a
H
vektor uchun
to‘g‘ri. Shuni isbotlang.
I s b o t . 1- h o l . Agar 
=
H
H
0
a
bo‘lsa, u holda har qaysi tenglikning
ikkala qismi nol vektorlar bo‘ladi. Shuning uchun tengliklar o‘rinli.
2- h o l .
≠
H
H
0
a
bo‘lsin.
1) Vektorni songa ko‘paytirish ta’rifiga ko‘ra:
1
1
1
a
a
a
a
⋅ =
⋅
= ⋅
=
H
H
H
H
.
1 soni esa musbat, shuning uchun 1 ·
a
H
va 
a
H
vektorlarning yo‘nalishi
bir xil. Teng vektorlarning ta’rifiga ko‘ra, 1 ·
a
H
=
a
H
ekani kelib chiqadi.
2) Vektorni ... ko‘paytirish ta’rifiga ko‘ra:
( 1)
...
...
...
a
a
a
− ⋅
=
⋅
= ⋅
=
H
H
H
.
–1 < 0, shuning uchun (–1) ·
a
H
va 
a
H
vektorlar – qarama-qarshi ...
bo‘ladi
. 
Qarama-qarshi vektorlarning ta’rifiga ko‘ra: 
a
a
−
=
H
H
va
− ↑↓
H
a
... . Va demak,
( 1)
a
− ⋅
H
...
a
−
H
v a 
−
↑↑
H
( 1)
a
... , ya’ni
(
−1
) ·
a
H
=
−
a
H
ekan.
Savol, masala va topshiriqlar

---

139
533.
k
ning qanday qiymatlarida quyidagi mulohazalar to‘g‘ri bo‘ladi:
1) |
k
a
H
| < |
a
H
|; 2) |
k
a
H
| > |
a
H
|; 3) |
k
a
H
| 
=
|
a
H
| (bu yerda 
a
H
– nol bo‘l-
magan vektor)?
534.
AB
CD
– parallelogramm, 
P
– diagonallarining kesishish nuqtasi, 
N
nuqta
B
C
tomonning o‘rtasi. 
KKKKH
D
P
v a 
KKKKH
D
N
vektorlarni 
=
KKKH KH
D
A
p
v a 
=
KKKKH KKH
DC
m
vektorlar orqali ifodalang.
535.
1) Uzunligi 3 sm ga teng bo‘lgan