a
b
A
B
0
AB
=
KKKH
H
, yani
A
=
B
nol vektor
220
221
A
B
|
=
H
|
A
B
C
D
b
KH
A
B
C
D
=
H
=
H
222
223
224
131
KKKH
AB
v a
KKKH
CD
vektorlar: 1)
yonalishdosh
bolsa
,
ular
KKKH
AB
↑↑
KKKH
CD
kabi;
2)
qarama-qarshi yonalgan
bolsa,
KKKH
AB
↑↓
KKKH
CD
kabi belgilanadi.
Nol vektor istalgan vektorga kollinear deb hisoblanadi.
5- t a r i f .
Agar
=
H
va
b
H
vektorlarning uzunliklari teng va yonalishlari
bir xil bolsa, bu vektorlar
teng vektorlar
deb ataladi.
Shunday qilib, agar |
H
a
|
=
|
b
H
| va
a
H
↑↑
b
H
bolsa,
a
H
va
b
H
vektorlar teng boladi. Vektorlarning tengligi
H
a
=
H
b
shaklida yoziladi.
Vektorlarning tengligi uning boshi tekislikning ix-
tiyoriy nuqtasida bola olishini korsatadi (225-rasm),
yani vektorning modulini ozgartirmay, yonalishini
saqlagan holda uning boshini tekislikning istalgan nuq-
tasiga kochirish mumkin. Buni
vektorni parallel kochi-
rish xossasi
deb ataladi.
M a s a l a .
AB
CD
parallelogramm uchlari juftligi nechta turli vektorni
beradi (226- rasm)?
J a vo b : sakkizta turli vektorni beradi:
AB
KKKH
,
BA
KKKH
,
A
D
KKKH
,
D
A
KKKH
,
A
C
KKKKH
,
C
A
KKKH
,
KKKH
B
D
,
KKKKH
D
B
.
505.
1) Vektor nima? Vektorlar qanday belgilanadi?
2) Qanday vektorlar bir xil (qarama-qarshi) yonalgan vektorlar deyi-
ladi? Vektorning moduli nima?
3) Qanday ikki vektor teng deyiladi?
506.
AB
CD
togri tortburchak berilgan. Uning uchlari bilan berilgan barcha
vektorlarni yozing. Ular ichidan qaysilari: 1)
A
C
togri chiziqda yotadi?
2)
CD
togri chiziqqa parallel?
507.
AB
CD
parallelogrammning diagonallari
O
nuqtada kesishadi. Uning
uchlari va diagonallari kesishish nuqtasi bilan belgilangan vektorlarni
yozing. Ular ichidan qaysilari:
KKKH
AB
,
KKKKH
B
C
va
KKKKH
B
O
vektorlarga kollinear?
508.
AB
CD
parallelogrammda
KKKKH
A
D
v a
KKKKH
B
C
vektorlarning tengligini isbotlang.
509.
AB
CD
parallelogramm. 226- rasmda
tasvirlangan vektorlar ichidan: 1) kol-
linear; 2) yonalishdosh; 3) qarama-
qarshi yonalgan; 4) teng uzunliklarga
ega bolgan vektorlar juftlarini korsa-
ting.
=
H
A
B
C
a
H
a
H
225
Savol, masala va topshiriqlar
A
c
H
D
B
C
e
H
a
H
b
O
226
132
510.
AB
CD
togri tortburchak. Quyidagi yozuvlardan qaysi biri manoga
ega:
1)
KKKKH
A
D
<
KKKKH
A
C
;
3)
KKKKH
A
C
=
KKKH
B
D
;
5)
KKKH
AB
=
KKKKH
DC
;
2)
KKKKH
A
D
<
KKKKH
A
C
;
4)
KKKKH
A
C
=
KKKH
B
D
;
6)
KKKH
AB
=
KKKKH
DC
?
511.
Agar: 1)
KKKKH
A
D
=
KKKKH
B
C
v a
=
KKKKH
KKKKH
A
D
DC
; 2)
↑↑
KKKKH
KKKKH
)
D
*
C
,
KKKH
AB
v a
KKKKH
DC
vektorlar esa nokollinear bolsa,
AB
CD
tortburchakning turini aniqlang.
512.
KKKH
AB
=
KKKH
CD
ekanligi malum. Ushbu tasdiqlar togrimi:
1)
AB
||
CD
;
2) |
AB
|
=
|
CD
| ?
513.
AB
CD
parallelogrammning diagonallari
O
nuqtada kesishadi. 1)
KKKH
AB
vek-
tor bilan yonalishdosh; 2)
KKKKH
A
C
vektorga yonalishdosh; 3)
KKKKH
D
O
vektor
bilan qarama-qarshi yonalgan vektorlarni yozing.
514.
AB
CD
togri tortburchakda
AB
= 3 sm,
B
C
= 4 sm,
E
AB
tomon-
ning ortasi.
KKKH
AB
,
KKKKH
B
C
,
KKKKH
DC
,
KKKH
E
A
,
KKKH
C
B
,
KKKKH
A
C
vektorlarning uzunliklari-
ni toping.
515.
KKKH
AB
va
KKKH
BA
vektorlarning yonalishi haqida nima deyish mumkin?
1. Vektorlarni qoshish.
Bizga
H
a
va
b
H
vektorlar berilgan bolsin (227-
a
rasm).
Ixtiyoriy
A
nuqtani belgilaymiz va bu nuqtadan
a
H
vektorga teng
KKKH
AB
vektorni
qoyamiz. Songra
B
nuqtadan
b
H
vektorga teng
KKKKH
B
C
vektorni qoyamiz.
Endi
=
H
vektorning boshi
A
nuqtadan
b
H
vektor uchi
C
ga yonalgan vektor
otkazamiz (227-
b
rasm).
KKKKH
A
C
vektor
a
H
v a
b
H
vektorlarning yigindisi
deyiladi.
Vektorlarni qoshishning bu qoidasi «
ucburchak
(
uch nuqta
)
qoidasi
» deyiladi.
a
H
va
b
H
vektorlarning yigindisi
a
H
+
b
H
kabi belgilanadi.
Uchburchak qoidasini quyidagicha ifodalasak ham boladi:
agar
A
,
B
va
C
ixtiyoriy nuqtalar bolsa, u holda quyidagi tenglik orinli:
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
=
KKKKH
A
C
4 1- m a v z u .
VEKTORLARNI QOSHISH VA AYIRISH
a
H
b
KH
a
H
b
b
a
H
H
+
A
B
C
a
b
A
B
C
A
C
B
C
AB
=
+
d
227
133
Uchburchak qoidasi istalgan
A
,
B
v a
C
nuqtalar uchun, shu bilan bir
qatorda ulardan ikkitasi yoki uchtasi ustma-ust tushganda ham orinli boladi
(227-
d
rasm).
2. Vektorlarni qoshish qonunlari.
Malumki, parallelogrammning qarama-
qarshi tomonlari ozaro teng va parallel. Agar yonalishlari bir xil bolsa, paral-
lelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng vektorlarni ifodalaydi.
a
H
v a
b
H
nokollinear vektorlar bolsin. Ixtiyoriy
A
nuqtadan
KKKH
AB
=
H
a
v a
A
D
KKKKH
=
b
H
vektorlarni qoyamiz hamda tomonlari shu vektordan tuzilgan
AB
CD
parallelogrammni yasaymiz (228- rasm). Uchburchak qoidasiga kora:
KKKKH
A
C
=
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
=
a
H
+
b
H
v a
KKKKH
A
C
=
A
D
KKKKH
+
KKKKH
DC
=
b
H
+
a
H
.
Bulardan
a
H
+
b
H
=
b
H
+
a
H
kelib chiqadi.
Demak, vektorlar yigindisi ularning qanday tartibda ketma-ket joylashishiga
bogliq emas, yani
istalgan
=
H
va
b
H
vektorlar uchun quyidagi tenglik orinli:
=
H
+
b
H
=
b
H
+
=
H
.
Bunga vektorlarni qoshishning
orin almashtirish qonuni
deyiladi
.
a
H
va
b
H
vektorlardan tuzilgan
AB
CD
parallelogrammda yigindi
KKKKH
A
C
vektor
qoshiluvchi vektorlarning umumiy boshidan chiquvchi diagonaldan iborat.
Odatda, vektorlarni bunday qoshish vektorlarni qoshishning «
parallelogramm
qoidasi
(
usuli
)» deyiladi (228- rasm).
Endi uchta
a
H
,
b
H
va
c
H
vektorlar yigindisini koraylik. Ixtiyoriy
A
nuqtadan
KKKH
AB
=
H
a
vektorni,
B
nuqtadan
KKKKH
B
C
=
b
H
vektorni,
C
nuqtadan esa
KKKH
CD
=
c
H
vektorni qoyamiz (229-rasm). Uchburchak qoidasini qollab, ega bolamiz:
( )
(
)
+
+ =
+
+
=
+
=
H
H
KKKH KKKKH
KKKH KKKKH KKKH KKKKH
H
;
=
b
c
AB B
C
CD
A
C CD
A
D
( )
(
)
+
+
=
+
+
=
+
=
H H
KKKH
KKKKH KKKH
KKKH KKKH KKKKH
H
.
=
b
c
AB
B
C CD
AB B
D
A
D
Bundan,
istalgan
a
H
,
b
H
va
c
H
vektorlar uchun
(
)
+
+
a b
c
H
H
H
=
(
)
+
+
=
b
c
H H
H
tenglik orinli ekani kelib chiqadi
. Bu vektorlarni qoshishning
guruhlash qonuni
(
xossasi
)
dir
.
Vektorlarning har biri noldan farqli bolganda ularning yigindisi nol vektor
bolishi mumkin. Masalan,
AB
C
uchburchakni qaraylik (230- rasm). Bunda
KKKH
AB
,
a
H
b
H
a
H
b
H
A
B
C
D
A
D
B
C
a
H
b
H
c
H
b
a
H
H
+
c
b
H
H
+
c
b
a
H
H
H
+
+
b
=
H
H
+
=
b
H
H
+
A
B
C
228
229
230
134
KKKKH
B
C
va
KKKH
C
A
vektorlar yigindisi nol vektor boladi, yani:
KKKH
AB
+
KKKKH
B
C
+
KKKH
C
A
=
0
H
,
chunki birinchi vektorning boshi bilan uchinchi vektorning uchi ustma-ust
tushdi. Demak, yigindi vektor nol vektor nuqta boldi.
1- t a r i f .
Ikki vektorning yigindisi nol vektor bolsa, ular
qarama-qarshi
vektorlar
deb ataladi.
Demak, agar
a
H
+
b
H
=
0
H
bolsa, u holda
b
H
=
KKKH
BA
vek-
tor
a
H
=
KKKH
AB
vektorga (va aksincha)
qarama-qarshi vektor
deyiladi va
b
H
= −
a
H
,
a
H
= −
b
H
kabi yoziladi (231-rasm).
Agar qarama-qarshi vektorlarni (uchburchak qoidasi bo-
yicha) qoshsak, u holda nol vektor kelib chiqadi. Bunda
|
=
H
|
=
|
b
H
|,
=
H
v a
b
H
vektorlar parallel bolib, turli tomonga
yonalgan boladi. Demak,
har bir
=
H
vektor uchun unga qarama-qarshu
−
=
H
vektor mavjud
(
yani
a
H
+
(
−
a
H
)
=
0
H
)
boladi
. Yuqoridagi mulohazalardan quyi-
dagi xulosa kelamiz:
agar nol bolmagan ikki vektorning uzunliklari teng va ular qarama-qarshi
yonalgan bolsa, ular
qarama-qarshi vektorlar
deyiladi.
Nol vektor oziga-ozi qarama-qarshi vektor hisoblanadi.
3. Vektorlarni ayirish.
Vektorlarni ayirish xuddi sonlarni ayirish kabi qo-
shishga teskari amaldir.
2- t a r i f .
a
H
va
b
H
vektorlarning ayirmasi
deb, shunday
c
H
vektorga ay-
tiladiki, uning
b
H
vektor bilan yigindisi
a
H
vektorni beradi:
c
H
+
b
H
=
a
H
.
a
H
va
b
H
vektorlarning ayirmasi xuddi sonlarning ayirmasi kabi belgilanadi:
a
H
−
b
H
.
Ikki vektorning ayirmasi birinchi vektorga ikkinchi vektorga qarama-qarshi
vektorni qoshish sifatida aniqlanadi va u
a
H
+
(
−
b
H
) vektorga teng (232-
b
rasm).
Bizga
a
H
va
b
H
vektorlar berilgan bolsin (232-
a
rasm).
a
H
vektor bilan
b
H
vek-
torga qarama-qarshi bolgan (
−
b
H
) vektorning yigindisini koraylik.
Istalgan
a
H
va
b
H
vektorlar uchun
a
H
−
b
H
=
a
H
+
(
−
b
H
)
tenglik orinli.
Haqiqatan ham, (
a
H
+
(
−
b
H
))
+
b
H
=
a
H
+
((
−
b
H
)
+
b
H
)
=
a
H
+
0
H
=
a
H
.
Agar
a
H
va
b
H
vektorlar bitta
O
nuqtadan qoyilgan bolsa, u holda
a
H
−
b
H
ayirmani topish uchun quyidagi qoidadan foydalanish qulay (232,
d
rasm):
BA
O
B
O
A
=
−
a
H
b
H
a
H
b
H
−
b
a
H
H
−
b
H
−
a
H
O
O
A
B
Do'stlaringiz bilan baham: |