1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

G
E B
A
C
D
G
A
D
C
F
H
C
D
G
E
B
A
168
169
170

---

93
T e o r e m a .
Buyuk yunon matematigi 
Pifagor
ning hayoti haqidagi ma’lumotlar tarixda
juda kam keltirilgan. U miloddan avvalgi VI asrning ikkinchi yarmida Egey
dengizining Samos orolida tug‘ilgan. Keyinchalik u Italiyaning janubidagi Kroton
shahrida yashagan, shu yerda o‘z maktabiga asos solgan. Pifagor maktabi shakllarni
ajratish va to‘g‘ri chiziqli shakllarni tengdosh shakllarga almashtirishning geomet-
rik usulidan teoremalarni isbot qilish va masalalar yechishda foydalanganligi
yunon matematiklarining asarlaridangina bizga ma’lum. Xususan, geometriyaning
fan sifatida tarkib topishiga Pifagor va uning maktabi katta hissa qo‘shgan. Quyida
keltiriladigan teorema Pifagor nomi bilan yuritiladi. Uning mazmuni quyidagicha:
(P i f a g o r t e o r e m a s i .)
To‘g‘ri burchakli uchburchak gipotenuzasining
kvadrati uning katetlari kvadratlarining yig‘indisiga teng.
Bu teorema to‘g‘ri burchakli uchburchakka oid bo‘lib, uchburchak tomon-
lariga teng kvadratlarning yuzlari orasidagi munosabatni ko‘rsatadi. Pifagor bu
teoremaning nazariy isbotini keltirgan. Pifagor teoremasi bilan aniqlangan geo-
metrik munosabatning xususiy hollari Pifagordan oldin ham turli xalqlarda ma’lum
edi, ammo teoremaning bu umumiy shakli Pifagor maktabiga nisbatan beriladi.
Katetlari 
a
va 
b
, gipotenuzasi 
c
bo‘lgan to‘g‘ri burchakli 
ABC
uchburchak
berilgan bo‘lsin, u holda Pifagor teoremasi
c
2
=
a
2
+
b
2
(1)
formula bilan ifodalanadi, bunda 
a
2
, 
b
2
, 
c
2
– tomonlari 
a
, 
b
, 
c
bo‘lgan
kvadratlarning yuzlariga teng. Shuning uchun bu tenglik tomoni gipotenuzaning
uzunligiga teng kvadratning yuzi tomonlari katetlarga teng kvadratlarning yuzlari
yig‘indisiga teng ekanini ko‘rsatadi (171- rasm).
Agar 
a
, 
b
va 
c
butun musbat sonlar uchun 
a
2
+
b
2
=
c
2 
tenglik bajarilsa, bu
sonlar 
Pifagor sonlari
yoki 
Pifagor uchliklari 
deb ataladi. Agar to‘g‘ri burchakli uch-
burchak katetlari va gipotenuzasining uzunliklari butun sonlar bilan ifodalansa,
bu sonlar Pifagor uchligini hosil qiladi. Bunday uchlikka 3, 4 va 5 sonlari misol
bo‘la oladi. Haqiqatan, 3
2
+ 4
2
= 5
2
. Tomonlari 3, 4 va 5 ga teng bo‘lgan to‘g‘ri
burchakli uchburchak yasashdan Misrda yer ustida to‘g‘ri burchak yasashda
foydalanilgan. Shuning uchun bunday uchburchak ko‘pincha «
misr uchburchagi
»
deb ataladi.
3- §.
PIFAGOR TEOREMASI
b
a
c
c
2 
= a
2
+ b
2
2 7- m a v z u .
PIFAGOR VA UNING TEOREMASI HAQIDA

---

94
Pifagor teoremasi to‘g‘ri burchakli uchburchakning istalgan ikki tomoniga
ko‘ra uchinchi tomonini topish imkonini beradi.
Pifagor teoremasining tatbig‘iga misol tariqasida tomoni 1 birlikka teng bo‘l-
gan kvadratning diagonalini topamiz. Kvadratning diagonali har bir kateti 1 bir-
likdan bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasidan iborat. Pifagor
teoremasiga asosan diagonalning kvadrati 1
2
+
1
2
=
2, bundan esa diagonalning
uzunligi 
bo‘ladi.
Bu teorema tatbig‘ining ikkinchi misoli sifatida uzunligi 
n
ga teng bo‘lgan
kesma yasash usulini ko‘rsatamiz, bunda 
n
– ixtiyoriy natural son. Biror to‘g‘ri
chiziqning 
O
nuqtasini olib, unda uzunligi 1 ga teng 
OA
kesma ajratamiz (172-
rasm), 
A
nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqa perpendikular o‘tkazamiz va unda 
AB
=
1
kesma ajratamiz. 
B
nuqtani 
O
nuqta bilan tutashtirib, 
=
+
=
BO
kes-
mani hosil qilamiz.
B
nuqtadan 
OB
ga perpendikular o‘tkazamiz va bu perpendikularda 
BC
=
1
kesmani ajratamiz. 
C
va 
O
nuqtalarni tutashtirib, 
( )
=
+ =
!
CO
kesmani
hosil qilamiz va shunday yasashni davom ettirib, 
"
2
=
, 
5
, 6 va h.k. ga
teng kesmalarni hosil qilamiz.
2
, 
3
, 
5
, 
6
,
7
kesmalar uzunlik birligi uchun qabul qilingan 
OA
kesma bilan umumiy o‘lchovsiz ekanini qayd qilamiz, chunki ularning uzunliklari
irratsional sonlar bilan ifodalanadi.
M a ’ l u m o t u c h u n .
Tomonlari butun sonli to‘g‘ri burchakli uchburchak
tuzish qoidalaridan biri ham pifagorchilarga tegishli, chunonchi: 
a
, 
−
1
a
va
+
1
a
sonlari Pifagor uchlik sonlarini hosil qiladi, bunda 
a
– ixtiyoriy toq son.
Yana boshqa bir qoida ham bor: 
a
, 
( )
−
1
=
va 
( )
+
1
=
sonlari Pifagor uchlik
sonlarini hosil qiladi, bunda 
a
– juft son.