1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

ABCD — parallelogramm va uning diagonallari kesishgan O nuqta beril­gan. OA + OC = OB + OD ekanini isbotlang.

ABCD — parallelogramm va shu parallelogrammdan tashqarida yotuvchi ixtiyoriy O nuqta berilgan.

1. 
   OD vektorni OA, OB va OC vektorlar orqali ifodalang.
   
2. 
   OA + OC = OB + OD ekanini isbotlang.
   

533. 
     E va F nuqtalar ABCD to‘rtburchakning AC va BD diagonallarining
     

o‘rtasi. EF = 2(AD + CB⁾ ekanini isbotlang.

533. 
     ABCD parallelogramm diagonallari O nuqtada kesishadi, P nuqta
     

OB ning o‘rtasi. AP vektorni AB = a va AC = b vektorlar orqali ifo­dalang.

533. 
     ABCD rombda N nuqta CD tomonning o‘rtasi. AN vektorni AB va AD vektorlar orqali ifodalang.
     

ABC uchburchakda AA₁ — mediana, O — AA₁ ning o‘rtasi. BO vektorni a = BA va b = BC vektorlar orqali ifodalang

.

533. 
     

VEKTORNING KOORDINATALARI
T
44- mavzu.
ekislikda xOy Dekart koordinatalar sistemasi, ya’ni koordinatalar boshi
O nuqta, koordinata o‘qlarining yo‘nalishi va masshtab birligi — birlik kesma berilgan bo‘lsin. Bunda tekislikdagi ixtiyoriy A nuqta o‘zining abssissasi x va ordinatasi y ga ega bo‘ladi: A (x; y). Moduli bir birlikka ega bo‘lgan hamda yo‘nalishi Ox o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni i bilan, xuddi shuningdek, Oy o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni j bilan belgilaymiz (244- rasm).
Tekislikda koordinatalari (x; y) bo‘lgan A nuqta berilgan bo‘lsin. OA_xA uch-
burchakni qaraylik. Bu uchburchakda OA = OA + A_x A . Ammo OA_x = x,
A_xA = OA_y = y bo‘lgani uchun OA_x = x ■ i , A_xA = y ■ j bo‘ladi. Bundan
a = OA = x ■ i + y ■ j (1)
tenglikni hosil qilamiz. Bu (1) tenglik vektorning koordinata ifodasi deb ataladi.
Demak, boshi koordinatalar boshida, uchi A (x; y) nuqtada bo‘lgan vektorni koordinata o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan i va j vektorlar orqali (1) ko‘rinishda yozish mumkin ekan.
Bunda (i ; j) vektorlar juftligi bazis vektorlar, x va y sonlar esa a vektorning koordinatalari deb ataladi.
Agar vektorning (1) koordinata ifodasi ma’lum bo‘lsa, vektor koordinatalari bilan berilgan deyiladi va qisqacha a (x; y) shaklida yoziladi:
a(x; y) = x ■ i + y ■ j . (2)
Ta’rif. Agar A₁(x₁; y_:) va A₂(x₂; y₂) bo‘lsa, x₂ - x₁ va y₂ - y₁ sonlar AjA₂ vektorning koordinatalari deyiladi (245- rasm).
Belgilanishi: A₁A₂ (x₂ - Xj; y₂ - y₁).
Qoida. Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxirining koordina- talaridan boshining mos koordinatalarini ayirish kifoya.

^244 y. j	y A(x; У) . ^Ay j	A(x; У) a ' i ^1 У x \
O	^r x O a	^r Ax i x b

2) AD = BC bo‘lsa, D nuqtaning koordinatalarini toping.

553. Berilgan: A (1; -1), B (2; 0), C(-1; 3). Agar: 1) BD = AC;

549. 
     1) Koordinatalar o‘qidagi birlik vektorlar qanday belgilanadi?
     

2) Boshi koordinatalar boshida bo‘lgan vektorning koordinatalari nimaga teng?

549. 
     Vektorlarning koordinatalarini yozing:
     

1) a = 4i - 5 j ; 2) a = 4i + 5j ; 3) b = -7}'; 4) c = -3i .

549. 
     1) A (2; 5) va B (4; 2); 2) A (3; -4) va B (1; -6); 3) A (-5; -3) va B (-1; 3) nuqtalar berilgan. AB vektorning koordinatalarini toping.
     
550. 
     1) A (-3; 0) va B (5; -4); 2) A (0; -4) va B (7; -2) nuqtalar berilgan. BA va AB vektorlarning koordinatalarini toping.
     

Masalan, OA vektorning koordinatalari vektor oxiri A ning koordinatalari bilan to‘la aniqlanadi, ya’ni vektor oxirining koordina- talariga teng bo‘ladi.
Agar A (x; y) bo‘lsa, OA (x; y) bo‘ladi.

1. 
   xulosa. Agar vektor oxirining koor- dinatalari vektorning koordinatalari bilan teng bo‘lsa, u holda berilgan vektorning boshi koordinatalar boshida bo‘ladi (244-b rasm).
   
2. 
   xulosa. Agar a(a{, a₂) vektor bilan uning oxiri bo‘lgan B (x₂; y₂) nuqtasi koor­dinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor boshi A (x₁; y₁) nuqtaning koordi- natalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan a (a₁; a₂) vektorning mos koordinatalarini ayirish kifoya:
   

x₁ = x₂ - a₁; y₁ = y₂ - a₂.

3. 
   xulosa. Agar a (a₁; a₂) vektor bilan uning boshi bo‘lgan A (x₁; y₁) nuq­tasi koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor oxiri B (x₂; y₂) nuqtaning koor­dinatalarini topish uchun A nuqtaning koordinatalariga a (a₁; a₂) vektorning mos koordinatalarini qo‘shish kifoya:
   

x₂ = x₁ + a₁; y₂ = y₁ + a₂.
Masala. A (-1; 5) nuqta a (2; -3) vektorning boshi bo‘lsa, bu vektor oxiri B ning koordinatalarini toping.
Yechilishi. Berilgan ma’lumotlarni so‘nggi munosabatlarga qo‘yib, izla- nayotgan koordinatalarni topamiz: x₂ = -1 + 2 = 1, y₂ = 5 + (-3) = 2.
Javob: B (1; 2).

X,

О